【推荐1】已知动点在椭圆：（）上，，为椭圆的左、右焦点．过点作轴的垂线，垂足为，点满足，且点的轨迹是过点的圆．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点，分别作平行直线和，设交椭圆于点，，交椭圆于点，，求四边形的面积的最大值．

【推荐2】设分别为椭圆的左、右两个焦点．
(1)若椭圆C上的点到两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程；
(2)设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；
(3)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明．

【推荐3】已知：坐标平面上动点与两个定点，，且，设动点M的轨迹为曲线C．
(1)若直线与曲线C交于P，Q两点，求的长．
(2)求点与动点M所连线段的中点E的轨迹方程．

【推荐1】已知、、是椭圆：（）上的三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且，．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线（斜率存在时）与椭圆交于两点，，设为椭圆与轴负半轴的交点，且，求实数的取值范围．

【推荐2】在中，，，且.动点P使得、、成等差数列.当角A最大时，求的取值范围.

【推荐3】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为1，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过的直线l与椭圆交于相异两点A，B，且，求实数的范围．

【推荐1】椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，不在轴上，的面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于M，N两点，设点，求证：直线，的斜率之和为定值，并求出定值.

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆交于点（在轴上方），
且.设点在轴上的射影为， 的面积为1（如图1）.

(1)求椭圆的方程；
(2)设平行于的直线与椭圆相交，其弦的中点为.
①求证：直线的斜率为定值；
②设直线与椭圆相交于两点（在轴上方），点为椭圆上异于一点，
直线交于点，交于点，如图2，求证：为定值.