【推荐1】已知椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上任意一点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线是椭圆的任意两条切线，且，试探究在轴上是否存在定点，点到的距离之积恒为1？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知椭圆：的右顶点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．
(1)求的方程
(2)椭圆的左顶点为，点为坐标原点，直线：与交于两点，圆过，，交于点，，直线，分别交于另一点，．证明：直线过定点．

【推荐3】已知椭圆，离心率为，点在椭圆上．
(1)求E的方程；
(2)过作互相垂直的两条直线与，设交E于A，B两点，交E于C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

【推荐1】已知是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点.

(1)求动点的轨迹的方程；
(2)折线与相交于，两点，若以为直径的圆经过原点，求的值.

【推荐2】已知椭圆的左､右焦点分别是､,是椭圆外的动点,满足.点是线段与该椭圆的交点,点在线段上,并且满足,.
(1)当时,用点P的横坐标表示；
(2)求点的轨迹的方程；
(3)在点的轨迹上,是否存在点,使的面积?若存在,求出的正切值；若不存在,说明理由.

【推荐3】定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”；如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比，已知椭圆.

（1）若椭圆，判断与相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；
（2）写出与椭圆相似且焦点在轴上，短半轴长为的椭圆的标准方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围；
（3）如图：直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点，试在椭圆和椭圆上分别作出点和点（非椭圆顶点），使和组成以为相似比的两个相似三角形，写出具体作法.（不必证明）

【推荐2】如图，已知分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆M上异于点的动点，若，且面积的最大值为2．

(1)求椭圆M的标准方程；
(2)已知直线与椭圆M相切于点，且与直线和分别相交于两点，记四边形的对角线相交于点N．问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐3】设椭圆，圆为.
（1）若椭圆的长轴为4，且焦距与椭圆的焦距相等，求椭圆的标准方程；
（2）过圆上任意一点作其切线，若与椭圆交于两点，求证：为定值（为坐标原点）；
（3）在（2）的条件下，求面积的取值范围.