【推荐1】已知定圆：，动圆过点，且和圆相切.
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；
（Ⅱ）若直线：与轨迹交于，两点，线段的垂直平分线经过点，求实数的取值范围.

【推荐2】有一种画椭圆的工具如图1所示.定点是滑槽的中点，短杆绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，.当栓子在滑槽内做往复运动时，带动绕转动一周(不动时，也不动)，处的笔尖画出的曲线记为.以为原点，所在的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系.

（1）求曲线的方程；
（2）在平面直角坐标系中，过点的动直线与曲线交于､两点，是否存在异于点的定点，使得平分？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由.

【推荐3】已知圆，点，P是圆M上一动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q．
（Ⅰ）求点Q的轨迹方程C；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，，直线DA与直线DB的斜率之积为，求直线l斜率的取值范围．

【推荐1】已知椭圆：的离心率为，且过点，，是椭圆上异于长轴端点的两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线：，且，垂足为，，垂足为，若，且的面积是面积的5倍，求面积的最大值.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求面积的最大值.

【推荐3】已知是椭圆的左､右顶点，且短轴长为是椭圆上位于轴上方的动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与直线分别交于两点，记和的面积分别为和.求的取值范围.

【推荐1】已知椭圆C： (a＞b＞0)的短轴长为2，椭圆C上的动点到左焦点的距离的最大值为．过点P(0，2)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为M，且不与原点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若y轴上的一点Q满足QA＝QB，求证：线段QM的中点在定直线上；
（3）求的取值范围．

【推荐2】已知椭圆的右焦点为，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长为的菱形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，为坐标原点，、是椭圆上两点，且的中点在线段（不含端点、）上，求面积的取值范围.

【推荐3】已知分别是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的一点，且的面积为1.
(1)求椭圆的短轴长；
(2)过原点的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的一点，若为等边三角形，求的取值范围.