【推荐1】正方体中，连接相邻两个面的中心可以构成一个美丽的几何体．若正方体的边长为1，则这个美丽的几何体的体积为________．

【推荐2】有一个六个面分别标上数字1、2、3、4、5、6的正方体，甲、乙、丙三位同学从不同的角度观察的结果如图所示.如果记2的对面的数字为，3的对面的数字为，则方程的解满足，为整数，则______
   

【推荐3】如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：

   

（1）有水的部分始终呈棱柱形；
（2）没有水的部分始终呈棱柱形；
（3）水面EFGH所在四边形的面积为定值；
（4）棱始终与水面所在平面平行；
（5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．
其中所有正确命题的序号是______，为什么？

【推荐1】在三棱锥中，侧面底面是等腰直角三角形，且斜边，，则三棱锥的外接球的表面积为______．

【推荐2】在四棱锥中，为等边三角形，且平面平面，记直线与平面所成的角为，二面角的大小为，则___________（填“>”“<” “≥” “≤”）.

【推荐3】如图，四边形是等腰梯形，，是线段的中点，沿着将折起，使得点与点重合．若二面角为120°，则点到直线的距离是______．