【推荐1】已知函数
（1）写出函数的单调区间；
（2）若在恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数在上值域是，求实数的取值范围．

【推荐2】定义在区间上的函数，若满足：，，都有，则称是区间上的有界函数，实数称为函数的上界.
（1）设，证明：是上的有界函数；
（2）若函数是区间上，以3为上界的有界函数，求实数的取值范围.

【推荐3】柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足:
①图象在上是一条连续不断的曲线；
②在内可导;
③对，，则，使得.
特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理.
(1)设函数满足，其导函数在上单调递增，证明：函数在上为增函数.
(2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【推荐1】设函数，，．
（1）已知在区间上单调递减，求的取值范围；
（2）存在实数，使得当时，恒成立，求的最大值及此时的值．

【推荐2】已知二次函数(其中)满足下列三个条件:①图象过坐标原点;②对于任意都成立;③方程有两个相等的实数根.
(1)求函数的解析式;
(2)令(其中)，求函数的单调区间(直接写出结果即可);
(3)研究方程在区间内的解的个数.

【推荐3】已知函数，其中为常数．
(1)当时，解不等式的解集；
(2)当时，写出函数的单调区间；
(3)若在上存在2021个不同的实数，，使得，求实数的取值范围．

【推荐1】已知，分别为等差数列和等比数列，，的前项和为.函数的导函数是，有，且是函数的零点.
（1）求的值；
（2）若数列公差为，且点，当时所有点都在指数函数的图象上.
请你求出解析式，并证明： .

【推荐2】在平面直角坐标系中，给定抛物线，实数满足，是方程的两根，记
（1）过点作的切线交轴于点，证明：对线段上的任一点，均有；
（2）设是定点，其中满足，过作的两条切线，切点分别为，与轴分别交于，线段上异于两端点的点集记为，证明：；
（3）设，当点 取遍 时，求的最小值（记为）和最大值（记为）.

【推荐3】已知定义在区间上的函数，其中常数．
(1)若函数分别在区间上单调，试求的取值范围；
(2)当时，方程有四个不相等的实根．
①求的乘积；
②是否存在实数，使得函数在区间单调，且的取值范围为，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知函数，
(1)设，解关于的不等式；
(2)当时，求函数的最大值；
(3)若对任意的，都有恒成立，求正实数的取值范围

【推荐3】已知函数，，，.
(1)当时，解不等式；
(2)若函数有两个不同零点，求实数的取值范围.