【推荐1】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F₁作直线PF₁的垂线l₁,过点F₂作直线PF₂的垂线l₂.

（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l₁，l₂的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.

【推荐2】若椭圆的左右焦点分别为，线段被抛物线的焦点内分成了的两段.

（1）求椭圆的离心率；
（2）过点的直线交椭圆于不同两点，且，当的面积最大时，求直线和椭圆的方程.

【推荐3】已知椭圆焦距为，离心率为.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作直线交曲线于、两个不同的点，记的面积为，求的最大值.

【推荐1】椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若的周长为，且面积的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上两动点，线段的中点为，的斜率分别为为坐标原点，且，求的取值范围.

【推荐2】已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点

②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若圆的切线与椭圆相交于､两点，线段的中点为，求的最大值.

【推荐3】已知椭圆，离心率为，点在椭圆上．
(1)求E的方程；
(2)过作互相垂直的两条直线与，设交E于A，B两点，交E于C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．

【推荐1】椭圆：的离心率为，右顶点为，下顶点为，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆与直线相交于，两点，直线，分别与轴交于，两点.试探究，两点的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.

【推荐3】已知椭圆（），、是其左右焦点，点、分别是椭圆的上、下顶点，点是椭圆上异于、的一点.

(1)若△为等边三角形，求椭圆的焦距；
(2)若，点在直线上，且，求△的面积；
(3)若，过点作斜率为的直线分别交椭圆于另一点，交轴于点，且点在线段上（不包括端点），直线与直线交于点，求的值.