【推荐1】从数列中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列的一个子数列，已知无穷等比数列的公比为.
（1）若.
①求数列的通项公式；
②若分别为等差数列的第项和第项，试求数列的前项和.
（2）证明：当时，数列不存在无穷等差子数列.

【推荐3】已知数列、分别满足，，且，，其中，设数列、的前项和分别为、；若数列满足：存在唯一的正整数，使得，则称数列为“坠点数列”．
(1)若数列、都为递增数列，求数列、的通项公式；
(2)若数列为“坠点数列”，求；
(3)若数列为“坠点数列”，数列为“坠点数列”，是否存在正整数，使？若存在，求的最大值；若不存在，说明理由．

【推荐1】已知数列满足，．
(1)证明：数列为递增数列．
(2)证明：
(3)证明：

【推荐2】已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.

【推荐3】已知函数．
（1）证明：两函数图像有且只有一个公共点；
（2）证明：．