【推荐1】已知直线与椭圆相交于两点，与轴，轴分别相交于点和点，且，点是点关于轴的对称点，的延长线交椭圆于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为.
(1)若椭圆的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上，求椭圆的方程；
(2)当 时，若点平分线段，求椭圆的离心率.

【推荐2】在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆C的右焦点为，且离心率，过点且斜率为的直线l交椭圆C于点A，B两点，D为AB的中点，过作直线l的垂线，直线OD与直线m相交于点

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)证明：点P在一条定直线上；
(3)当最大时，求的面积．

【推荐3】椭圆的左右焦点分别为，左右顶点为，为椭圆的上顶点，的延长线与椭圆相交于，的周长为，，为椭圆上一点．圆以原点为圆心且过椭圆上顶点．

(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与圆切于，（位于第一象限），求使得面积最大时的直线的方程；
(3)若直线与轴的交点分别为，以为直径的圆与圆的一个交点为，判断直线是否平行于轴并证明你的结论．

【推荐1】已知圆，点，是圆上一动点，点在线段上，点在半径上，且满足.
（1）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）设过点的直线与轨迹交于点（不在轴上），垂直于的直线交于点，与轴交于点，若，求点横坐标的取值范围.

【推荐2】已知椭圆的两个焦点分别为和，过点的直线与椭圆相交与两点，且.
（1）求椭圆的离心率；
（2）求直线的斜率；
（3）设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，且，求椭圆方程.