【推荐1】定义，，…，的“倒平均数”为.
（1）若数列前项的“倒平均数”为，求的通项公式；
（2）设数列满足：当为奇数时，，当为偶数时，.若为前项的倒平均数，求；
（3）设函数，对（1）中的数列，是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由.

【推荐2】设数列是等差数列，且公差为，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）若，判断该数列是否为“封闭数列”，并说明理由？
（2）设是数列的前项和，若公差，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使；若存在，求的通项公式，若不存在，说明理由；
（3）试问：数列为“封闭数列”的充要条件是什么？给出你的结论并加以证明.

【推荐1】已知函数，
(1)讨论函数的单调性;
(2)若恒成立，
①求a的取值范围；
②设，证明：

【推荐2】已知正项数列的前项和为，数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立；
（3）数列满足，它的前项和为，若存在正整数，使得不等式成立，求实数的取值范围．

【推荐3】设等差数列的前项和为，，.
（1）求及；
（2）设，数列的前项和为，是否存在正整数、，使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的、；否则，请说明理由.

【推荐1】记为数列的前项和，．
(1)求和的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：．

【推荐2】记数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)设，记的前项和为.若对于且恒成立，求实数的取值范围.

【推荐3】已知正项数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，，求证：．

【推荐1】已知，，求证:当时，.

【推荐2】已知数列的前n项和为，，（，且）.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，求使不等式对一切均成立的最大实数p.

【推荐3】设数列的前项和为，已知.
（1）令，求数列的通项公式；
（2）若数列满足：.
①求数列的通项公式；
②是否存在正整数，使得成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.