【推荐1】如图，过椭圆的左右焦点，分别作长轴的垂线，交椭圆于，，，，将，两侧的椭圆弧删除再分别以，为圆心，，线段的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”.夹在，之间的部分称为椭圆帽的“帽体段”，夹在，两侧的部分称为椭圆帽的“帽檐段”.已知左右两个帽檐段所在的圆方程分别为.

(1)求“帽体段”的方程；
(2)记“帽体段”所在椭圆为C，过点的直线与椭圆C交于A，B两点，在x轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由.

【推荐2】设椭圆：的左､右焦点分别为，，下顶点为，线段(为坐标原点)的中点为.若抛物线：的顶点为，且经过点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点关于点的对称点为，过点作直线与椭圆交于点，，且的面积为，求直线的斜率.

【推荐3】求下列各曲线的标准方程
（1）长轴长为8，短轴长为4，焦点在x轴上的椭圆；
（2）抛物线的焦点是双曲线16x²﹣9y²=144的右顶点．

【推荐1】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点，平行于的直线在轴上的截距为，交椭圆于两个不同点.
（1）求椭圆的标准方程以及的取值范围；
（2）求证直线与轴始终围成一个等腰三角形.

【推荐2】已知椭圆 的离心率为，左、右焦点分别是,以为圆心、3为半径的圆与以为圆心、1为半径的圆相交，交点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线与椭圆C交于A,B两点，点M是椭圆C的右顶点直线AM与直线BM分别与y轴交于点PQ，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

【推荐3】已知、分别是椭圆的左右顶点，离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点是椭圆上异于、的动点，直线过点且垂直于轴，若过作直线垂直于，并交直线于点，证明：、、三点共线．