【推荐1】设，对于项数为的有穷数列，令为中最大值，称数列为数列的“创新数列”.例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7. 考查正整数1，2，…，的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列.
（1）若，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列；
（2）是否存在数列的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的的创新数列；若不存在，请说明理由.
（3）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列的个数；若不存在，请说明理由.

【推荐2】设数列的所有项都是不等于的正数，的前项和为，已知点在直线上（其中常数，且）数列，又.
（1）求证数列是等比数列；
（2）如果，求实数的值；
（3）若果存在使得点和都在直线在上，是否存在自然数，当（）时，恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知数列满足，数列满足，数列
满足．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ），，试比较与的大小，并证明；
（Ⅲ）我们知道数列如果是等差数列，则公差是一个常数，显然在本题的数列中，不是一个常数，但是否会小于等于一个常数呢，若会，请求出的范围，若不会，请说明理由．

【推荐1】已知数列的前项和为，对于任意的正整数都有，且各项均为正数的等比数列中，，且和的等差中项是10．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．

【推荐2】已知数列中，，前项和满足（）．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）是否存在整数对满足？若存在，求出所有的满足题意得整数对；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明： .

【推荐1】已知是等差数列，，是函数的两个不同零点.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，，都是数列前项中的项，，，是公比为的等比数列，，，成等差数列.当最大时，求.

【推荐2】已知数列的前项和满足：
（1）求证：数列是等比数列并写出的通项公式；
（2）设如果对任意正整数，都有，求实数的取值范围.

【推荐3】已知等比数列的公比为，是的前项和；
（1）若，，求的值；
（2）若，，有无最值？说明理由；
（3）设，若首项和都是正整数，满足不等式，且对于任意正整数有成立，问：这样的数列有几个？