【推荐1】已知函数，数列满足，，，
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求；
（3）令，若对一切成立，求最小正整数.

【推荐2】已知数列满足：，，，，设.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）记，数列的前n项和为，求证：.

【推荐3】已知数列的前项和为，满足：，且．
(1)求证：数列为等差数列，并求其通项公式；
(2)记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．

【推荐1】已知数列的前n项和为，.
(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；
(2)设，证明：.

【推荐2】若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为.
(1)设第次构造后得的数列为，则，请用含的代数式表达出，并推导出与满足的关系式；
(2)求数列的通项公式；
(3)证明：

【推荐3】设数列的前项的和为，且，.
（1）证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项的和；
（3）设函数（为常数），且（2）中的＞对任意的和都成立，求实数的取值范围.

【推荐1】已知等差数列满足，数列是等比数列，数列的前项和，
(1)求数列和的通项；
(2)求数列的前n项和.

【推荐2】已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，______． 给出以下条件：①是与的等差中项；②，，成等比数列；③，，成等比数列．从中任选一个，补充在上面的横线上，再解答．
(1)求的通项公式；
(2)令是以2为首项，2为公比的等比数列，数列的前n项和为．若，，求实数的取值范围． （注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

【推荐3】设函数，过点作轴的垂线交函数图像于点，以为切点作函数图像的切线交轴于点，再过作轴的垂线交函数图像于点，以此类推得点，，，记点，，，，的横坐标分别为，，，，，．

(1)证明：，并求；
(2)求数列的前项和．