【推荐1】椭圆的左右焦点分别为，左右顶点为，为椭圆的上顶点，的延长线与椭圆相交于，的周长为，，为椭圆上一点．圆以原点为圆心且过椭圆上顶点．

(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线与圆切于，（位于第一象限），求使得面积最大时的直线的方程；
(3)若直线与轴的交点分别为，以为直径的圆与圆的一个交点为，判断直线是否平行于轴并证明你的结论．

【推荐2】已知椭圆的右焦点是，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点Q的坐标为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知是椭圆C的下顶点，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点M，N，且M，N都在以P为圆心的圆上，求k的值；
(3)过点作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A，B为椭圆的左右顶点，记直线AR、BS的斜率分别为k₁、k₂，则是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

【推荐1】已知椭圆的左焦点为，其四个顶点围成的四边形面积为．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点F的直线l与曲线E交于A，B两点，设AB的中点为M，C、D两点为曲线E上关于原点O对称的两点，且，求四边形ACBD面积的取值范围．

【推荐2】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为

（1）求椭圆C的标准方程
（2）直线与椭圆C交于P、Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为
①求四边形APBQ的面积的最大值
②设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由.

【推荐3】已知：椭圆的离心率为，且，过左焦点作一条直线交椭圆于、两点，过线段的中点作的垂线交轴于点.

（1）求椭圆方程；
（2）当面积最大时，求直线的斜率.