【推荐1】已知椭圆:的左右焦点分别是,点在椭圆上，，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相交于、两点，求实数，使得以线段为直径的圆经过坐标原点．

【推荐2】已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点

②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆.
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若直线与椭圆相交于､两点，若原点在以为直径的圆的内部，求的取值范围.

【推荐3】已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点

②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求点的轨迹方程；
（2）根据（1）所得点的轨迹方程，直线与点M轨迹交于､两点，且.求证：的面积为定值.

【推荐1】在平面直角坐标系中，已知点，直线：，动点到点的距离与直线的距离之比为.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)设曲线与轴交于、两点，过轴上点作一直线与椭圆交于，两点（异于，），若直线与的交点为，记直线与的斜率分别为，，求.

【推荐2】已知椭圆：()的右焦点与抛物线的焦点重合，以椭圆的短轴为直径的圆过椭圆的焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交椭圆于､两点，直线：与椭圆在第一象限的交点为点，，求直线的方程.

【推荐3】如图已知椭圆的中心在原点，焦点为，，且离心率．

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，过点的直线与椭圆相交于，两点，当线段的中点落在由四点，，，构成的四边形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围．