【推荐1】如图，在中，，于点D，．点P从点B出发，沿折线向终点C运动，在边上运动时速度为每秒5个单位长度，在边上运动时速度为每秒个单位长度，当点P不与的顶点重合时，过点P作于点Q，以、为邻边构造平行四边形．设点P的运动时间为．

(1)＝______；
(2)求线段的长（用含t的代数式表示）；
(3)连接，当是锐角三角形时，求出t的取值范围；
(4)点E是的中点，点F是的中点，连接，当与的一边平行时，直接写出此时t的值．

【推荐2】石家庄某学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB上，机器人甲从端点A出发，匀速往返于端点A、B之间，机器人乙同时从端点B出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B、A之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．
【观察】
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度．
②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为　 　个单位长度．
【发现】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP，不包括点O，如图2所示）
①a＝　 　；
②分别求出各部分图象对应的函数解析式，并在图2中补全函数图象．

【拓展】
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度，若这两个机器人在第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离y不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离x的取值范围是　 　．（直接写出结果）

【推荐3】如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON．
（1）求证：AM=BN；
（2）请判断△OMN的形状，并说明理由；
（3）若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK=x，△OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积为，请直接写出AK长．
   

【推荐1】阅读下面材料：
子薇遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．子薇是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是．

请回答：在图2中，的度数是       ．
参考子薇得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：
（1）如图3，在直角梯形ABCD中，，，，E是CD上一点，若，，求BE的长度．
（2）如图4，已知线段，线段绕点旋转，且，连接，以为边作正方形，连接．求线段的最大值．

【推荐2】如图，在中，，射线．点P从点A出发，沿以每秒的速度向终点B运动．过点P作交射线于点Q，以为一边向上作正方形，设点P的运动时间为t（秒）：

(1)如图1，当点Q与点D重合时，求正方形的面积；
(2)如图2，作点D关于直线的对称点，连接．
①当点P从点A运动到的中点时，求点的运动路径长；
②当与的边垂直或平行时，直接写出t的值．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，已知、．

(1)如图，若点在第一象限，，求证：；
(2)如图，若点在第二象限，，，，则______；
(3)如图，若点，点在轴的负半轴上，满足，求点的坐标．

【推荐1】如图，矩形ABCD中，E为AD边上一点（不与点A、D重合），EF⊥BE交CD于点F．
   
（1）求证：EA·ED＝AB·DF；
（2）若BE平分∠ABD，点G为BC中点，AG交BE于点K，H为AB边上一点，∠BEH＝45°，BD交EF于点J，当＝时，求；
   
（3）若AB＝BC，点K为线段BE的三等分点（BK＜EK），点J为射线EF上一点，且EK＝EJ，当＝_________时（直接写结果），tan∠DJE＝．
   

【推荐2】在中，，，，点是线段上一动点，连接．
   
(1)如图1，若，求的面积；
(2)如图2，若，以为边在下方作等腰，，连接，若点是线段中点，过作于点的延长线交于点，求证：；
(3)如图3将沿翻折．连接，是线段上一点，且，直接写出当取得最小值时的面积．

【推荐3】综合与实践
如图，已知正方形OCDE中，顶点，抛物线经过点C、点D，与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线交x轴于点F．

(1)求抛物线的解析式，且直接写出点A、点B的坐标；
(2)若点G是抛物线的对称轴上一动点，且使最小，则G点坐标为：______；
(3)在直线（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与全等，请你直接写出点P的坐标；
(4)点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点M，使得以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．