【推荐1】如图，在矩形中，是上一点，连接的垂直平分线分别交于点，连接．
   
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若为的中点，连接，求的长．

【推荐2】如图，以的一边为直径作交于点，，与边的交点恰好为的中点，连结．

(1)求证：．
(2)若，求弧的长．

【推荐3】如图，△ABC的边BC在x轴上，且∠ACB=90°．反比例函数y=（x＞0）的图象经过AB边的中点D，且与AC边相交于点E，连接CD．已知BC=2OB，△BCD的面积为6．

（1）求k的值；（2）若AE=BC，求点A的坐标．

【推荐1】如图，在中，，点D是的中点，以为直径作，分别与，交于点E，F点，过点E作于G．
   
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．

【推荐2】如图，在△ABC中，AB=AC，AF⊥BC，垂足为F，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，EF，若BE⊥AC．
   
求证：（1）BF=EF；
（2）求∠EFC的度数．

【推荐3】如图：在中，，，点为的中点，点为直线上的动点（不与点，重合），连接，，以为边在的上方作等边，连接．
（1）是________三角形；
（2）如图1，当点在边上时，运用（1）中的结论证明；
（3）如图2，当点在的延长线上时，（2）中的结论是否依然成立？若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由．

【推荐1】如图1，正方形中，点O是对角线的中点，点P是线段上（不与A、O重合）的一个动点，过点P作且交边CD于点E．

(1)求证：；
(2)若正方形的边长为6．
①过点E作于点F，如图2，则在点P运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，请直接写出这个不变的值；若变化，请说明理由．
②连接交于点G，在点P运动的过程中，当，求的长．

【推荐2】已知正方形的边长为12，点E由点C开始沿边运动，连接，点G为的中点，绕点E顺时针旋转得到，连接．过点G作于点M．

   

(1)当点E为中点时，
①依题意补全图形；
②求证：；
③求的度数及点F到直线的距离；
(2)当点E运动到B点时，直接写出的面积．

【推荐3】如图，正方形的边长为，动点P从B点出发沿B－C－D的方向运动到点D停止，在此运动过程中，设的面积为，点P运动的路程为．

   

(1)写出y与x之间的函数解析式（写出自变量的取值范围），并在平面直角坐标系中，直接画出此函数的图象；
(2)写出该函数图像的一条性质：______；
(3)x的值为______时，为等腰三角形；
(4)求当的面积等于正方形面积的时，x的值是多少？

【推荐1】如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，、、三个格点都在圆上，点是此圆内的一个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

(1)画出该圆的圆心；
(2)画出上的点，使长最小；
(3)画出格点，使为的一条切线，并画出过点的另一条切线，切点为．（只需要画出满足条件的一个点和一个点即可）

【推荐2】阅读材料：如图1，若点P是⊙O外的一点，线段PO交⊙O于点A，则PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．
证明：延长PO交⊙O于点B，显然PB＞PA．
如图2，在⊙O上任取一点C（与点A，B不重合），连结PC，OC．
∵PO＜PC+OC，
且PO=PA+OA，OA=OC，
∴PA＜PC
∴PA 长是点P与⊙O上各点之间的最短距离．
由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差．请用上述真命题解决下列问题．
（1）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是 上的一个动点，连接AP，则AP长的最小值是　 　．
（2）如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，①求线段A’M的长度； ②求线段A′C长的最小值．

【推荐3】阅读下列材料，回答问题.
材料：求圆外一定点到圆上距离最小值是安徽省中考数学较为常见的一种题型，此类题型试题有时出题者将圆隐藏，故又称为“隐圆问题”.解决这类问题，关键是要找到动点的运动轨迹，即该动点是绕哪一个定点旋转，且能保持旋转半径不变.从而找到动点所在的隐藏圆，进面转换成圆外一点到圆心的距离减半径，求得最小值.
解决问题：
（1）如图①，圆O的半径为1，圆外一点A到圆心的距离为3，圆上一动点B，当A、O、B满足条件____________时，有最小值为____________.
（2）如图②，等腰两腰长为5，底边长为6，以A为圆心，2为半径作圆，圆上动点P到的距离最小值为__________.
（3）如图③，，P、Q分别是射线、上两个动点，C是线段的中点，且，则在线段滑动的过程中，求点C运动形成的路径长，并说明理由.
（4）如图④，在矩形中，，，点E是中点，点F是上一点，把沿着翻折，点B落在点处，求的最小值，并说明理由.
（5）如图⑤，在中，，，，以边中点O为圆心，作半圆与相切，点P，Q分别是边和半圆上的动点，连接，求长的最小值，并说明理由.