【推荐1】在平行四边形中，的平分线交边于点E，交的延长线于点F．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，，连接、，当时，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，当时，求线段的长．

【推荐2】如图，在中，，将绕点C旋转一定的角度得到，点D恰好落在边上．
   
(1)求证：平分；
(2)连接，若，，求的长．

【推荐1】如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．

(1)求ED的长．
(2)将木条BC绕点B在平行于纸面的平面内顺时针方向旋转一定角度得到（如图2），点P的对应点为，与MN的交点为，从A点发出的光束经平面镜反射后，在MN上的光点为．若，求的长．

【推荐2】矩形纸片ABCD，AB=4，BC=12，E、F分别是AD、BC边上的点，ED=3．将矩形纸片沿EF折叠，使点C落在AD边上的点G处，点D落在点H处．
（1）矩形纸片ABCD的面积为           
（2）如图1，连结EC，四边形CEGF是什么特殊四边形，为什么？
（3）M，N是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，MN=1，求四边形EFMN周长的最小值.（计算结果保留根号）

【推荐3】如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=6，D在线段BC上，E是线段AD的一点．现以CE为直角边，C为直角顶点，在CE的下方作等腰直角△ECF，连接BF．

(1)如图1，求证：△AEC≌△BFC．
(2)当A、E、F三点共线时，如图2，若AF＝2，求BF的长；
(3)如图3，若∠BAD＝15°，连接DF，当E运动到使得∠ACE=30°时，求△CDF的面积．

【推荐1】如图，等腰直角中，，，是上一点，过作，过点作交于点，连接，将沿翻折得到，延长交于，交于．
   
（1）若，求的长；
（2）若，求的长．

【推荐2】如图，AB为的直径，AP为的切线，F是AP上一点，过点F的直线与交于C，D两点，与AB交于点E，连接AD，AC，若．

(1)求证：；
(2)若，求BE的长．

【推荐3】已知和中，，，，连接、，点是的中点，连接，，绕点旋转．
   
(1)特例探究
如图①，当点、分别在、上时，线段与的数量关系是__________，位置关系是__________；
(2)深入探究
在绕点旋转的过程中，试判断（1）中的两个结论是否成立，若成立，请利用图②证明你的结论；若不成立，请说明理由；
(3)问题解决
当旋转到图③位置时，点落在延长线上，若，，求线段的长．

【推荐1】如图将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°）得到正方形AB′C′D′．
（1）如图1，B′C′与AC交于点M，C′D′与AD所在直线交于点N，若MN∥B′D′，求α；
（2）如图2，C′B′与CD交于点Q，延长C′B′与BC交于点P，当α＝30°时．
①求∠DAQ的度数；
②若AB＝6，求PQ的长度．

【推荐2】如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，如图2，连接，，．

(1)当时，求证：；
(2)如图3，当时，延长交于点F，求的度数；
(3)在旋转过程中，探究的面积的是否存在最小值，若存在写出此时旋转角α的度数和面积最小值，若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在x轴、y轴的正半轴上，，．点P从点О出发，沿x物以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点Р运动的时间是t秒．将线段的中点F绕点Р按顺时针方向旋转得到点D，点D随点P的运动面运动，连接、．

(1)点F和点D的坐标分别为：F__________，D___________（用含t的代数式表示）；
(2)求当t为何值时，的面积最大，最大面积为多少？
(3)在点P从点О向点A运动的过程中，能否成为直角三角形？若能，求t的值；若不能，请说明理由．