1 . 阅读材料，回答问题．
材料一：因为，所以．
材料二：求的值．
解：设①，
①两边同时乘以3得，则②
用得，
所以，
即，
所以．
这种方法我们称为“错位相减法”．
(1)填空：_________，_________；
(2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了．
①国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_________粒米（用幂表示）；
②设国王输给阿基米德的总米粒数为S，求S．

2 . 涵涵是一个聪明又富有想象力的学生，学习了“有理数的运算”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”的概念．规定：若干个相同有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，把记作，记作，请你根据涵涵的规定解决下列问题：
(1)______；______；
(2)关于“有理数的除方”，下列说法正确的是______；（填序号）
①对于任何正整数，都有；②；③；④对于任何正整数，都有．
(3)计算

3 . 类比平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义：
①如果，那么x叫做a的四次方根；
②如果，那么x叫做a的五次方根；
请根据以上两个定义并结合有关数学知识回答问题：
(1)81的四次方根为______；的五次方根为______．
(2)若有意义，则a的取值范围为______；若有意义，则a的取值范围为______．
(3)解方程：
①
②

4 . 我们称为“梅岭数”，记，，， （其中为正整数）．
(1)计算：          ．
(2)求的值．
(3)探究与的关系，并说明理由．

5 . 任意一个正整数n都可以写成两个正整数x，y相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解称为该正整数的最优分解，并定义一种新运算“”，例：，则．
(1)填空：       ，       ．
(2)若，求n的值．

6 . 已知，．
(1)求．
(2)若，且，求的值．

7 . 阅读理解：根据乘方的意义，可得：．请你试一试，完成以下题目：
(1)            ；
(2)归纳、概括：         ；
(3)如果 ，，运用以上的结论，计算：         ．

8 . 先阅读下面的内容，再解决问题．
例题：若，求m和n的值．
解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
(1)若，求的值；
(2)已知a，b，c是等腰的三条边长，且a，b满足，求的周长．

10 . 在平面直角坐标系中，已知点且．

(1)______；______．
(2)如果在轴上有一点，使得的面积等于3，求点的坐标．