1 . 某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)填空：______=______；
(2)已知且n为整数，猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明．

2 . 按一定规律排列的单项式：a，，，，，…，则第n个单项式为_____．

3 . 某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)填空：__________=__________；
(2)已知且n为整数，猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明．

4 . 观察下列各式的规律．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
(1)根据上述规律，直接写出第4个等式：________________．
(2)猜想满足上述规律的第个等式，并证明其成立．

5 . 观察下列各式的规律：①；②；③；…；依此规律，若；则m、n的值为（　　）

A．

B．

C．

D．

6 . 对于正整数，我们规定：若为奇数，则：若为偶数，则，例如，，若，，，，，依此规律进行下去，得到一列数，，，，，，，为正整数），_____．

7 . 阅读材料：求的值．
解：设 ①，
则 ②．
用②-①得
∴．即．
∴．
以上方法我们称为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题：
阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏，阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行．”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了．
(1)国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放______粒米；（用幂表示）
(2)设国王输给阿基米德的米粒数为S．求S．
(3)拓展应用：计算：；（仿照材料写出求解过程）

8 . 观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：        ；
(2)写出你猜想的第n个等式：（用含n的式子表示），并证明．

9 . 观察下列等式：
第①个等式：，
第②个等式：，
第③个等式：，
第④个等式：，
…
根据上述规律解决下列问题：
(1)写出第⑤个等式；
(2)写出你猜想的第ⓝ个等式（用含n的式子表示），并证明．

10 . 观察下列关于自然数的等式：
        ①
       ②
     ③
     ④
……
根据上述规律解决下列问题：
(1)写出第五个等式：________________；
(2)猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性．