1 . 有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是；
第二个数是；
第三个数是；
…
对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于．
（1）经过探究，我们发现：
设这列数的第5个数为a，那么，，，哪个正确？
请你直接写出正确的结论；
（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并且证明你的猜想满足“第n个数与第（n+1）个数的和等于”；
（3）设M表示，，，…，，这2016个数的和，即，
求证：．

2 . 对于正数x，规定：．例如：，，．
(1)求值：=_______；=_______；
(2)猜想：=_______，并证明你的结论；
(3)求的值．

3 . 观察下列式子：
（1），（2），（3）……，
你能发现其中的规律吗？请你用含n的式子表示这一规律表示，并给出证明．

4 . 观察下列各式：
，
，
，
，
…   
（1）猜想上面四个算式的规律，并用字母表示出第个式子；
（2）证明你的猜想的正确性．

5 . 观察下列等式：
，，，……
（1）请写出第四个等式：           ；
（2）观察上述等式的规律，猜想第n个等式（用含n的式子表示），并证明其正确性．

6 . 观察以下等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：          ；
（2）写出你猜想的第个等式：          （用含的等式表示），并证明．

7 . 观察下列各式．
①②③④……
根据上述规律回答下列问题．
（1）接着完成第⑤个等式： _____；
（2）请用含的式子写出你发现的规律；
（3）证明（2）中的结论．

8 . 观察下列各式:
1+2=2²-1
1+2+2²=2³-1,
1+2+2²+2³=2⁴-1,
...
(1)请直接写出1+2+2²+2³+2⁴=
1+2+2²+2³+2⁴+2⁵=_      ;
(2)根据(①)的规律,猜想1+2 +2² +...+2ⁿ=_     ， 并给出证明；
(3)设2⁵⁰=a,根据(2)中的结论，化简2⁵⁰+ 2⁵¹+ 2⁵²+...+ 2⁹⁹+ 2¹⁰⁰(用含a的式子表示).

9 . 【探究】用“＞”、“＜”、“≤”、“≥”或“＝”填空，并探究规律：
（1）4+5　 　2；
（2）3+　 　2；
（3）1+　 　2；
（4）a+1　 　2（a＞0）．
【发现】用一句话概括你发现的规律：　 　；
【表达】用符号语言写出你发现的规律并加以证明；
【应用】若a＞0，求a+的最小值．

10 . 观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：             ；
（2）写出你猜想的第个等式          （用含的等式表示），并证明．