1 . （1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现，请把下面的证明过程补充完整：

证明：过点作．
，，
．
__________．
，
__________．
__________．
即；
（2）拓展探究：
如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：；
（3）解决问题：
如图③，，，，求的度数．

2 . 如图，直线，连接，直线、及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接，，构成，，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角）

(1)当动点落在第①部分时，求证：；
(2)当动点落在第②部分时，是否成立？如果成立，请说明理由；不成立直接写出结论．
(3)当动点落在第③部分时，全面探究，，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

3 . 如图，在矩形中，过对角线的中点作垂线分别交边、于点、，连接、．

   

(1)求证：；
(2)判断四边形的形状，并证明；
(3)若，求的长．

4 . 如图，为线段 上一点， ，，， 平分 ．

(1)求证：；
(2)问： 与 的位置关系并证明．

5 . 在中，，如图

(1)当时，为的平分线，求证：．
(2)如图，当时，为的角平分线，猜想线段，，的关系式_____________（请直接写出你的猜想，不需要证明）
(3)如图当为的外角平分线时，线段，，的关系_________________（并对你的猜想给予证明）

6 . 请把下列证明过程补充完整．
已知：如图，B、C、E三点在同一直线上，A、F、E三点在同一直线上，，，求证：．

证明∶ ∵（已知），
∴________（______），
∴____（______），
∵（已知），
∴____（等量代换），
∵（已知），
∴，即，
∴____（等量代换），
∴（_____）．

7 . 已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．

(1)求证：；
(2)试猜想、有何特殊位置关系，并证明．

8 . 证明：平行四边形对角线互相平分，
已知：四边形是平行四边形，如图所示．

求证：，．
以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是（　　）
∴，．
∵四边形是平行四边形．
∴，．
∴．
∴，．

A．

B．

C．

D．

9 . 在中，，，点D为上一动点．

   

(1)如图1，点E、点F均是射线BD上的点并且满足，．求证：；
(2)在（1）的条件下，求证：；
(3)由（1）我们知道，如图2，当点D的位置发生变化时，过点C作于F，连接AF．那么的度数是否发生变化？请证明你的结论．

10 . 尺规作图之旅
下面是一副纯手绘的画作，其中用到的主要工具就是直尺和圆规，在数学中，我们也能通过尺规作图创造出许多带有美感的图形．

   

尺规作图起源于古希腊的数学课题，只允许使用圆规和直尺，来解决平面几何作图问题．
【作图原理】在两年的数学学习里中，我们认识了尺规作图，并学会用尺规作图完成一些作图问题，请仔细思考回顾，判断以下操作能否通过尺规作图实现，可以实现的画√，不能实现的画．
（1）过一点作一条直线．（       ）
（2）过两点作一条直线．（       ）
（3）画一条长为的线段．（       ）
（4）以一点为圆心，给定线段长为半径作圆．（       ）
【回顾思考】还记得我们用尺规作图完成的第一个问题吗？那就是“作一条线段等于已知线段”，接着，我们学习了使用尺规作图作线段的垂直平分线，作角平分线，过直线外一点作垂线……而这些尺规作图的背后都与我们学习的数学原理密切相关，下面是用尺规作一个角等于已知角的方法及说理，请补全过程．
已知：．
求作：使

   

作法：
（1）如图，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；
（2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；
（3）以点为圆心，           ；
（4）过点画射线，则．

   

说理：由作法得已知：
求证：
证明：
（       ）
所以（       ）
【小试牛刀】请按照上面的范例，完成尺规作图并说理：过直线外一点作已知直线的平行线．
已知：直线与直线外一点．
求作：过点的直线，使得．

   

【创新应用】现实生活中许多图案设计都蕴含着数学原理，下面是一个常见商标的设计示意图．假设你拥有一家书店，请利用你手中的刻度尺和圆规，为你的书店设计一个图案．要求保留作图痕迹，并写出你的设计意图．