1 . 如图，直线，连接，直线、及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接，，构成，，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角）

(1)当动点落在第①部分时，求证：；
(2)当动点落在第②部分时，是否成立？如果成立，请说明理由；不成立直接写出结论．
(3)当动点落在第③部分时，全面探究，，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

2 . 如图，中，是上一点，于点是的中点，于点，与交于点，若平分，连接．

(1)求证：；
(2)试探究线段之间的数量关系，并证明．
(3)若点为中点，判断四边形是什么四边形？并说明理由．

3 . 如图，为线段 上一点， ，，， 平分 ．

(1)求证：；
(2)问： 与 的位置关系并证明．

4 . 【问题提出】小慧同学遇到这样一道问题，如图①，在中，点D为边的中点，以点D为圆心，为直径作圆，的平分线交此圆于点P，点P在内部，连接．
求证，的面积等于面积的一半．

【问题解决】小慧的做法是连接并延长，交于点Q，利用形状的特殊性解决问题，请你利用小慧的做法完成【问题提出】中的证明；
【问题拓展】如图②，在四边形中平分．，若，则面积的最大值为     ．

5 . 如图1，已知正方形（正方形四条边都相等，四个角都是直角），把一个直角与正方形叠合，使直角顶点与点A重合，且直角的一边与相交于E点，另一边与的延长线相交于F点．
（1）求证：；
（2）如图2，若作的平分线交于G点，连接，请问线段，和之间有怎样的数量关系？并加以证明．
（3）如图3，将图1中的“直角”改为“”，当的一边与的延长线相交于E点，另一边与的延长线相交于F点，连接．线段，和之间有怎样的数量关系？并加以证明．

7 . 完成下列填空．如图，已知于点，于点，．
求证：．

证明：，（已知）
，（______）

______（______）
______（______）
又（已知）
______（______）
______（______）

8 . 如图，在三角形中，，垂足为点是三角形外角的平分线，，垂足为点．

(1)求证：四边形为矩形；
(2)当三角形满足什么条件时，四边形为正方形？（不用证明）

9 . 已知：如图，在、中，，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接．

(1)求证：；
(2)试猜想、有何特殊位置关系，并证明．

10 . 如图，在菱形中，是对角线上的两点，且．

(1)求证：；
(2)证明四边形是菱形．