1 . 在矩形中，（k为常数），点P是对角线上一动点（不与B，D重合），，将射线绕点P逆时针旋转90°与射线交于点E，连接．

   

(1)特例发现：如图1，当时，将点P移动到对角线交点处，则______， ______；当点P移动到其它位置时，的大小______（填“改变”或“不变”）；
(2)类比探究：如图2，若时，当k的值确定时，请探究的大小是否会随着点的移动而发生变化，并说明理由；
(3)拓展应用：当时，如图2，连接，求的长．

2 . 综合与实践
【问题情境】
在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线a，b且和，，，．  
（1）在图1中，，求的度数；
【深入探究】
（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由；
【拓展应用】
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写出与的数量关系．

3 .

(1)方法呈现：如图①：在中，若，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，可证，从而把，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
(2)探究应用：
如图②，在中，点是BC的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系并证明；
(3)问题拓展：
如图③，在四边形中，，与的延长线交于点、点是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明．

4 . 某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作A点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．
请利用上述模型解决下列问题：

(1)几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为　　；
(2)几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．

5 . 在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．
【提出问题】三个有理数a，b，c满足，求的值．
【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①a，b，c都是正数，即，，时，则；
②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，，则．综上所述，值为3或．
【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)已知a，b是不为0的有理数，当时，则的值是________；
(2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值；
(3)已知a，b，c是有理数，，，求的值．

6 . 体验：如图，在四边形中，，，点在边上，当时，可知 ______ 不要求证明．
探究：如图，在四边形中，点在上，当时，求证：∽．
拓展：如图，在中，点是边的中点，点、分别在边、上，若，，，求的长．
   

7 . 初步探究：如图1，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且．探究图中、、之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论是       ．
灵活运用：如图2，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
拓展延伸：如图3，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请直接写出与的数量关系．

   

8 . 探究：如图1和2，四边形中，已知，，点，分别在、上，．
   
(1)①如图 1，若∠B、都是直角，把绕点A逆时针旋转至△ADG，使与重合，则能证得，请写出推理过程；
②如图 2，若∠B、都不是直角，则当∠B与满足数量关系___时，仍有；
(2)拓展：如图3，在中中，，，点、均在边上，且．若，求的长．

9 . 问题发现：
（1）如图①，已知点为线段上一点，分别以线段、为直角边作等腰直角三角形，，，，连接、，则、之间的数量关系为________，位置关系为________．
拓展探究：
（2）如图②，把绕点逆时针旋转，线段、交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由．
拓展延伸：
（3）如图③，已知，，，连接、、，把线段绕点A旋转，若，，请直接写出旋转过程中线段的最大值．
   

10 . （1）【阅读探究】如图，已知，、分别是、上的点，点在 、两平行线之间，，，求的度数．
解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图1中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系：       ．
（2）【方法运用】如图，已知，点、分别在直线、上，点在、两平行线之间，求、和之间的数量关系．
（3）【应用拓展】如图，在图的条件下，作和的平分线、，交于点（交点在两平行线、之间）若，求的度数．