1 . 如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，将沿直线平移，并连结，．
(1)【基础巩固】
求证：在沿直线平移过程中，四边形是平行四边形；
(2)【操作思考】
如图2，已知，，当沿平移到某一个位置时，四边形为菱形，求此时的长；
(3)【拓展探究】
如图3，连结，若四边形为菱形，且，求的度数．

3 . 【问题呈现】
如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点P为射线、的交点．探究，的位置关系．

【问题探究】
（1）如图1，若和是等腰直角三角形，求证：；
（2）如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；
【拓展应用】
（3）在（1）的条件下，，，将绕点A旋转，使点E恰好落在线段上，请直接写出此时的长度．

4 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察猜想】
（）如图，在正方形中，点分别是上的两点，连接，，则的值为__________．
（）如图，在矩形中，，，点是上的一点，连接，且，则的值为__________；
【类比探究】
（）如图，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：．
【拓展延伸】
（）如图，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点分别在边上，连接，，．求的值．

5 . 如图，和都是等腰直角三角形，．

(1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是____________，位置关系是____________；
(2)【探究】把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)【拓展】把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是____________．

6 . 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

   

(1)操作判断
操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展平，连接，．
根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角：______．
(2)迁移探究
小华将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．
①如图2，当点M在上时，______°；
②如图2，当点M在EF上时，求三角形的面积．
(3)拓展应用
若正方形纸片的边长为，通过改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），当时，直接写出的长．

7 . 已知在矩形中，，是边，上的点，过点作的垂线交边于点．

[发现]如图1，以为直径作，点（填“在”或“不在”）上；当时，的值是______；
[论证]如图1，当时，求证：；
[探究]如图2，当，是边，的中点时，若，，求的长；
[拓展]如图3，将矩形换为平行四边形，在平行四边形中，，，，是边上的动点，过点在的右侧作的垂线，且有，当点落在平行四边形的边所在的直线上时，直接写出的长．

8 . 在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形和共顶点A，且三点共线，，连接，点G为的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？

【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以G是中点入手，如图2，通过延长与相交于点F，证明，得到，随后通过得即，又,所以且．
（1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当时，_____；______．
【类比探究】
（2）如图3，若将绕点A逆时针旋转α度（），请分析此时上述结论是否成立？如果成立，如果不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若将E绕点A逆时针旋转β度（），当时，请直接写出旋转角β的度数为_______．

9 .

(1)【阅读理解】如图①，在中，，是斜边上的中线．试判断与的数量关系．解决此问题可以用如下方法：延长至点，使，连接，．易证四边形是矩形，得到，即可作出判断．则与的数量关系为          ；
(2)【问题探究】如图②，直角三角形纸片中，，点是边的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，求的长度；
(3)【拓展延伸】如图③，在等腰直角三角形中，，，是边的中点，，分别是边，上的动点，且，当点从点运动到点时，的中点M所经过的路径长是多少？