名校
1 . 定义“点
的
阶点”：若点的坐标为
，则把坐标为
的
点称为点的阶点（其中为正整数）．例如：点
的
阶点为点
，即
．
(1)若点
的
阶点在
轴上，求
的值；
(2)若点
的
阶点为点
，求点的坐标；
(3)已知点
的阶点为点，将点先向右移动
个单位，再向下移动个单位得到点
，若点在第一象限，求
的取值范围．
的阶点”：若点的坐标为，则把坐标为的点称为点的阶点（其中为正整数）．例如：点的阶点为点，即．(1)若点
的阶点在轴上，求的值；(2)若点
的阶点为点，求点的坐标；(3)已知点
的阶点为点，将点先向右移动个单位，再向下移动个单位得到点，若点在第一象限，求的取值范围．
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2 . 对于平面直角坐标系中的点
，若点
的坐标为
（其中为常数，且
），则称点为点的“之立信点”．例如：
的“2之立信点”为
，即
．
(1)点
的“3之立信点”的坐标为________．
(2)若点在轴的正半轴上，点的“之立信点”为点，且
为等腰直角三角形，求的值；
(3)在（2）的条件下，若关于的分式方程
无解，求
的值．
，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“之立信点”．例如：的“2之立信点”为，即．(1)点
的“3之立信点”的坐标为________．(2)若点
在轴的正半轴上，点的“之立信点”为点，且为等腰直角三角形，求的值；(3)在（2）的条件下，若关于
的分式方程无解，求的值．
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3 . 若抛物线
过点
和
两点，且顶点在第二象限．
（1）若该抛物线的对称轴
，则
______ ．
（2）设
，则P的取值范围是______ ．
过点和两点，且顶点在第二象限．（1）若该抛物线的对称轴
，则（2）设
，则P的取值范围是
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4 . 经过点
，
的一次函数
的图象（直线
）在如图所示的平面直角坐标系中，某同学为观察对图象的影响，将上面函数中的减去2，
不变得到另一个一次函数，设其图象为直线
．
(1)求直线的函数解析式；
(2)在图上画出直线（不要求列表计算），并求直线，和轴所围成的三角形的面积；
(3)将直线向下平移
个单位长度后，得到直线
，若直线与的交点在第三象限，求
的取值范围；
(4)若
是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，该平行线分别与直线，及轴有三个不同的交点，且其中一个交点的纵坐标是另外两个交点的纵坐标的平均数，请直接写出的值．
，的一次函数的图象（直线）在如图所示的平面直角坐标系中，某同学为观察对图象的影响，将上面函数中的减去2，不变得到另一个一次函数，设其图象为直线． (1)求直线
的函数解析式；(2)在图上画出直线
（不要求列表计算），并求直线，和轴所围成的三角形的面积；(3)将直线
向下平移个单位长度后，得到直线，若直线与的交点在第三象限，求的取值范围；(4)若
是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，该平行线分别与直线，及轴有三个不同的交点，且其中一个交点的纵坐标是另外两个交点的纵坐标的平均数，请直接写出的值．
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2023-07-10更新
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189次组卷
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4卷引用：河北省保定市阜平县2022-2023学年八年级下学期7月期末数学试题
河北省保定市阜平县2022-2023学年八年级下学期7月期末数学试题河北省沧州市孟村回族自治县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题河南省周口市川汇区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（已下线）2023年河北省中考数学真题变式题21-26题
解题方法
5 . 对于平面直角坐标中的任意两点P，Q，若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为“和合点”，如图1中的P，Q两点即为“和合点”．
，
，
，
．
①在上面四点中，与点
为“和合点”的是___________；
②若点
，过点F作直线
轴，点G直线l上，A、G两点为“和合点”，则点G的坐标为___________；
③若点
在第二象限，点
在第四象限，且A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，求a，b的值．
(2)如图2，已知点
，
，点
是线段
上的一动点，且满足
，过点
作直线
轴，若在直线m上存在点S，使得R，S两点为“和合点”，直接写出n的取值范围．
，，，．①在上面四点中，与点
为“和合点”的是___________；②若点
，过点F作直线轴，点G直线l上，A、G两点为“和合点”，则点G的坐标为___________；③若点
在第二象限，点在第四象限，且A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，求a，b的值．(2)如图2，已知点
，，点是线段上的一动点，且满足，过点作直线轴，若在直线m上存在点S，使得R，S两点为“和合点”，直接写出n的取值范围．
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名校
6 . 已知点
位于第三象限，点
位于第二象限，且点是由点向上平移
单位长度得到的．
(1)若点的纵坐标为
，试求出的值；
(2)在（1）题的条件下，试求出点的坐标；
(3)若点的横、纵坐标都是整数，直接写出的值．
位于第三象限，点位于第二象限，且点是由点向上平移单位长度得到的．(1)若点
的纵坐标为，试求出的值；(2)在（1）题的条件下，试求出点
的坐标；(3)若点
的横、纵坐标都是整数，直接写出的值．
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7 . 我们约定：若点P的坐标为
，则把坐标为
的点
成为点P的“k阶益点”（其中k为正整数），例如：
即
就是点
的“2阶益点”．
(1)已知点
是点
的“3阶益点”，求点P的坐标；
(2)已知点P2是点
的“2阶益点”，将点P2先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点Q，若点Q落在第四象限，求t的取值范围；
(3)已知点
的“k阶益点”是
，若
，求符合要求的点P的坐标．
，则把坐标为的点成为点P的“k阶益点”（其中k为正整数），例如：即就是点的“2阶益点”．(1)已知点
是点的“3阶益点”，求点P的坐标；(2)已知点P2是点
的“2阶益点”，将点P2先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点Q，若点Q落在第四象限，求t的取值范围；(3)已知点
的“k阶益点”是，若，求符合要求的点P的坐标．
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8 . 抛物线
与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）点C为顶点，以点C为旋转中心，将点B顺时针旋转90°得到点D．
(1)直接写出点C的坐标为______．（用含a的式子表示）
(2)试说明点A为位置不变的定点，并求出点A的坐标．
(3)当
时，求点D的坐标．
(4)当点D在第三象限时，直接写出a的取值范围．
与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）点C为顶点，以点C为旋转中心，将点B顺时针旋转90°得到点D．(1)直接写出点C的坐标为______．（用含a的式子表示）
(2)试说明点A为位置不变的定点，并求出点A的坐标．
(3)当
时，求点D的坐标．(4)当点D在第三象限时，直接写出a的取值范围．
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2022-12-05更新
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123次组卷
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2卷引用：2022年吉林省长春市经开区中考数学一模试卷
9 . 已知点
位于第二象限，并且
，
、
为整数，符合上述条件的点
共有_______ 个．
位于第二象限，并且，、为整数，符合上述条件的点共有
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2022-10-22更新
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838次组卷
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7卷引用：江苏省宿迁市钟吾初级中学2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
江苏省宿迁市钟吾初级中学2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（已下线）江苏八年级上学期期末【压轴60题考点专练】-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略（苏科版）（已下线）不等式与不等式组单元大综合（已下线）2022年浙江省龙湾区中考第二次适应性测试数学试卷变式题11-15湖北省武汉市江夏区武汉华一寄宿学校2022-2023学年七年级下学期5月考数学试题9.3一元一次不等式组（已下线）专题9.5 一元一次不等式组（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）
10 . 如图，平面直角坐标系中，直线
与轴负半轴交于
，与轴正半轴交于
．
(1)求
的面积；
(2)若为直线上一动点（不与
，
重合），连
，且
，求点横坐标
的取值范围．
(3)如图，点
在第三象限的直线上，连
，
于
点，连
交轴于
点，连
交
的延长线于
，则
，
，
，
之间是否有某种确定的数量关系，请直接写出你的结论：_____________．
与轴负半轴交于，与轴正半轴交于．(1)求
的面积；(2)若
为直线上一动点（不与，重合），连，且，求点横坐标的取值范围．(3)如图，点
在第三象限的直线上，连，于点，连交轴于点，连交的延长线于，则，，，之间是否有某种确定的数量关系，请直接写出你的结论：_____________．
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