1 . 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线上方抛物线上一动点；
①连接，，设直线交线段于点E，的面积为，的面积为，求的最大值；
②是否存在点D，使等于的2倍？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 如图，在平面直角坐标中，抛物线过点，且交x轴于，两点，交y轴于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，当线段的长取得最大值时，点的坐标是            ．

3 . 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为线段上的动点，过点D作的平行线交于点E，求面积的最大值；
(3)点M是该抛物线上不同于A，B的一个动点，连接，过点O作的平行线，过点B作y轴的平行线，交于点N，判断直线是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点且交轴于点，点，交轴于点，顶点为，连接，．

(1)求抛物线的表达式．
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作交轴于点，轴交于点，求的最大值，以及此时点的坐标．
(3)连接，把原抛物线沿射线方向平移个单位长度后交轴于，两点在右侧），在新抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

5 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点与点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点为线段上方抛物线上的任意一点，过点作交直线于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移3个单位长度得到新的抛物线，点为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点为原抛物线对称轴上一动点，是否存在以为腰，以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

6 . 已知，如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点是第三象限抛物线上的动点，当四边形面积最大时，求出此时面积的最大值和点的坐标．
(3)将抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，在原抛物线的对称轴上，为平移后的抛物线上一点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点C，其中，抛物线的对称轴是直线．
   
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点是直线下方抛物线上一动点，点是线段上一动点，直线交轴于点．若，求的最大值及此时点的坐标；
(3)另有抛物线的顶点在线段上，经过点，将抛物线平移得到新的抛物线，点，平移后的对应点分别是点，连接．若轴，点在轴上，经过点，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．

8 . 如图1，经过原点O的抛物线（a、b为常数，）与x轴相交于另一点，在第一象限内与直线交于点，抛物线的顶点为点C．

(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)在抛物线上是否存在一点P，使的面积等于8？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线下方的抛物线上的动点，与直线交于点G．设和的面积分别为和，求的最大值，及此时点F的坐标．

9 . 如图，抛物线经过点，点，点．

   
(1)求抛物线的解析式，并直接写出直线的解析式；
(2)如图，点E是直线上方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点E的坐标和面积的最大值；
(3)在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

10 . 已知：抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C，连接．

(1)求抛物线的表达式并直接写出点C的坐标；
(2)如图，点M是抛物线第一象限内的一点，连接，求面积的最大值；
(3)点P也是抛物线第一象限内的一点，过点P作于N，连接，当以P、C、N为顶点的三角形与相似时，直接写出点P的坐标．