2 . （1）特例发现：如图1，，平分，平分．请观察猜想的度数并说明理由；

（2）类比探究：如图2，点是上一点，当保持不变，移动直角顶点，使平分．与存在怎样的数量关系?并说明理由；
（3）拓展应用：如图3，为线段上一定点，点为直线上一动点，点不与点重合．与有何数量关系?猜想结论并说明理由．

3 . 探索：小明在研究数学问题：已知，AB和CD都不经过点P，探索与、的数量关系．

发现：在图1中，；如图5

小明是这样证明的：过点Р作
∴___________
∵，．
∴__________
∴
∴
即
（1）为小明的证明填上推理的依据；
（2）理解：
①在图2中，与、的数量关系为_____________________；
②在图3中，若，，则的度数为_________________；
（3）拓展：
在图4中，探究与、的数量关系，并说明理由．

4 . (1)探究1:如图1,P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点,若∠A=70^∘，则∠BPC=_______度；
(2)探究2:如图2，P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点，求∠BPC与∠A的数量关系?并说明理由．
(3)拓展：如图3，P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点，设∠A+∠D=α.,直接写出∠BPC与α的数量关系；

5 . 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.
探究1：如图l，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90+∠A,理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴∠1=∠ABC, ∠2=∠ACB
∴∠l+∠2=(∠ABC+∠ACB)= (180-∠A)= 90-∠A
∴∠BOC=180-(∠1+∠2) =180-(90-∠A)=90+∠A
(1)探究2；如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
(2)探究3：如图3中, O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）
(3)拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）

8 . 【概念学习】在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组．
（1）若、互为组角，且，则________；
【理解运用】
习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形．
（2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图②，________；（用含的代数式表示）
（4）如图③，已知四边形中，延长、交于点，延长、交于，、的平分线交于点，；
①写出图中一对互组的角________（两个平角除外）；
②直接运用（2）中的结论，试说明：；
（5）如图④，、分别为，的2019等分线（）．它们的交点从上到下依次为，，，…，．已知，，则_______．（用含、的代数式表示）

9 . 中，，．

(1)如图，若M与C重合，平分，，垂足E在的延长线上，试探究与的数量关系，并证明你的结论；
(2)若M在线段上且不与B，C重合，D在线段上，且，，垂足E在的延长线上，则与的数量关系是什么？画图并说明理由．