1 . 【探究】如图①，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、．
（1）若，，则　　度，　　度．
（2）若，求的度数．
【拓展】如图②，和的平分线交于点，经过点且平行于，分别与、交于点、．若，直接写出的度数．（用含的代数式表示）

2 . （1）观察理解：如图1，中，，，直线过点，点，在直线同侧，，，垂足分别为，，由此可得：，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以 （ ）；（请填写全等判定的方法）
（2）理解应用：如图2，，且，，且，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积 ；
（3）类比探究：如图3，中，，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求△的面积．
（4）拓展提升：如图4，等边中，，点在上，且，动点从点沿射线以速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．设点运动的时间为秒．
①当 秒时，；
②当 秒时，；
③当 秒时，点恰好落在射线上．

3 . 【问题提出】
如图1，在矩形中，点在上，且．动点以每秒1个单位的速度从点出发，在折线段上运动，连接，当时停止运动，过点作，交矩形的边于点，连接．设动点的运动路程为，线段与矩形的边围成的三角形的面积为．
【初步感知】
如图2，动点由点向点运动的过程中，经探究发现是关于的二次函数，如图2所示，抛物线顶点的坐标为，与轴的交点的坐标为，与轴的交点为点．
（1）当点与点重合时，点与点重合，求矩形的边和的长；
【深入探究】
（2）点由点向终点运动的过程中，求关于的函数表达式；
【拓展延伸】
（3）是否存在3个路程，，，当时，3个路程对应的面积均相等．

5 . 几何与探究
【初步感知】（1）如图1，在中，，，将沿折叠，使点A与点B重合，折痕和交于点E，，求的长；
【深入探究】（2）如图2，将矩形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长；
【拓展延伸】（3）如图3，在矩形中，，，点E为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，求的长．

   

6 . 在数学综合与实践课上，老师给出了下列问题：

探究结论：（1）如图1，，，则        ：
如图2，，，则        ；
结论：两个角的两边分别平行，则这两个角        或         ．
应用结论：（2）在图3中，五边形，点G、F分别在、上，将∠A沿翻折得到，，，，，则的度数为        ．
拓展应用：（3）在图4中，，，，，平分，G点是线段上的一个动点，若中有两个相等的角，，，求的度数．

7 . 综合与实践
问题情境：
数学活动课上，老师发给每位同学一个直角三角形纸片，，，．
问题发现
奋进小组将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点D顺时针方向旋转得到．点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N．
如图1小明发现，折痕的长很容易求出，并且和的数量关系也能证明．
如图2小红发现，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时或直线时，的长都可求……．

问题提出与解决
奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1和问题2，请你解答．
问题1：如图1，按照如上操作
（1）折痕的长为______；
（2）在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系；并证明你的结论；
问题2：在绕点D旋转的过程中，探究下列问题：
①如图2，当直线经过点B时，的长为______；
②如图3，当直线时，求的长；
拓展延伸：
小刚受到探究过程的启发，在绕点D旋转的过程中，尝试画图，并提出问题3，请你解答．
问题3：在绕点D旋转的过程中，连接，当取最小值时，请直接写出的面积．

8 . 【课本再现】苏科新版七年级数学下册第7章平面图形的认识（二）第43页第21题如下：如图1，，点A、B分别在、上运动（不与点O重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点D．
【特殊探究】（1）当时，        ；
【推理论证】（2）随着点A、B的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数，请说明理由；
【拓展探究1】（3）如图2，在图1的基础上分别作与的平分线，交于点E，则        ；
【拓展探究2】（4）如图3，若将图1中的“”拓展为一般情况，即，连接，与的平分线相交于点Q，试判断与的数量关系，并说明理由．