1 . 如图，在中，是边上的中线，分别以，为直角边作直角和，其中，，，，连接，延长至点，使，连接．

【初步探索】（1）试说明：；
【衍生拓展】（2）探究和之间的数量关系，并说明理由．

2 . 【活动探究】

（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，正方形中，点E是的中点，将正方形沿折叠，得到点B的对应点为，延长交线段于点P，连接．求的度数．
【追本溯源】
（2）小瑞受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图②，正方形的边长为6，点E，F分别在上运动，连接．若，试猜想的数量关系是_____________，并加以证明．
【拓展迁移】
（3）小波深入研究以上两个问题，发现并提出新的探究点：如图③，是的高，，若，求的面积

3 . 实践操作
在矩形中，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
初步思考
（1）若点落在矩形的边上（如图①）．
①当点与点重合时，______；
②当点在上，点F在上时（如图②），当时，的长为_______．
深入探究
（2）若点与点重合，点在上，射线与射线交于点M，在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段与线段的长度相等？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由．
拓展延伸
（3）若点落在矩形的内部，且点分别在边上，请求出的最小值．

4 . 某中学七年级学生在学习等腰三角形的相关知识时，经历了以下学习过程：

(1)【探究发现】如图1，在中，若平分，时，则线段与的数量关系为：_________；
(2)【学以致用】如果和等腰有一个公共的顶点，如图2，若顶点与顶点也重合，且，试探究线段和的数量关系，并证明；
(3)【拓展应用】如图3，在（2）的前提下，若顶点与顶点不重合，，（2）中的结论还成立吗？证明你的结论．

5 . 【发现问题】如图1，已知，以点为直角顶点、分别以、为腰向外作等腰直角、等腰直角．连接、．那么与的数量关系是        ．
【拓展探究】如图2，已知，以、为边向外作正方形和正方形，连接、，试判断与之间的数量关系，并说明理由．（提示：正方形四条边相等，四个角相等）
【解决问题】如图3，有一个四边形场地，为等边三角形，，，求的最大值．

7 . 我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系．发现：一元一次不等式的解集是函数图象在轴上方的点的横坐标的集合．
结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在轴上方（或轴下方）部分的点的横坐标的集合．
【解决问题】：
（1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______．
（2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______；不等式的解是______；
【拓展延伸】：
（3）如图3，一次函数和的图象相交于点，分别与轴相交于点和点．
①结合图象，直接写出关于的不等式组的解集是______．
②若轴上有一动点，是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．

8 . 【动手实践】在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究．

【实验操作】
（1）如图1，边和边重合摆成图1的形状，则______度；
（2）如图1，保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后将三角板绕点顺时针转动，请问：当是多少度时，三角板的边与三角板的边平行？()
【拓展延伸】
（3）试探索：如图2，两块三角板的斜边分别与直线、重合，且，将、分别绕点、点以每秒4度和每秒1度的速度同时逆时针转动，转动一周时两块三角板同时停止，设时间为秒，当、所在的直线垂直时，的值为多少？

9 . 综合与实践：
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形中，E为边上一点，连接翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点共线．

观察发现：
（1）如图1，若F为边的中点，，点G与点H重合，则______，      ；
问题探究：
（2）如图2，若，，则点G_____边上（填“在或不在”），并求出的长；
拓展延伸：
（3），若F为靠近A的三等分点，请求出的长．