1 . 下面是小芳同学设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．

   

已知：如图，直线及直线外一点P．
求作：直线的垂线，使它经过点P．
作法：
①以P为圆心，大于P到直线l的距离为半径作弧，交直线l于A，B两点：
②连接和；
③作的角平分线，交直线l于点Q；
④作直线．
∴直线就是所求的直线．
根据小芳设计的尺规作图过程，解答下列问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图（保留作图痕迹）；
(2)写出证明过程和依据．

2 . 已知四边形为正方形，点在边上，连接．

(1)尺规作图：过点作于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
(2)求证：．（请补全下面的证明过程）
证明：∵正方形，
∴，________，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴________，
在与中，（   ）里填________
∴（），
∴．
通过上面的操作，进一步探究得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且______的线段长相等．

3 . 如图，在四边形中，，，

(1)尺规作图：在上截取，作交于点F；
（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作图形中，求证：（请补全下面的证明过程，不写证明理由）
证明：∵
∴ ①
∵
∴ ②
∴ ③
∴四边形为平行四边形
∵
∴ ④
∴

4 . 下面是小李设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图的过程．
已知：如图1，及圆外一点P．
求作：过点P作的一条切线．

作法：①连接；
②作的垂直平分线，交于点A；
③以A为圆心，的长为半径作弧，交于点B；
④作直线．
即直线为所求作的一条切线．
根据上述尺规作图的过程，回答以下问题：
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)该作图中，可以得到______；依据：____________．

5 . 已知：和圆外一点，求作：过点的的切线．

作法：①作射线，交于点，；

②以为圆心，为半径作，以为圆心，

的长为半径画弧交于点；

③连接，，交于点；

④作直线．

所以直线为的切线．

(1)使用直尺和圆规进行尺规作图，依作法补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．

证明：，，

．

，

． 　　填推理的依据

半径．

直线为的切线．( 　　)(填推理的依据)

6 . 下面是小方设计的“作等边三角形”的尺规作图过程．
已知：线段．
求作：等边三角形．
作法：如图，
①以点A为圆心，以的长为半径作；
②以点B为圆心，以的长为半径作，交于C；
③连接．
所以就是所求作的三角形．

根据小方设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵点B，C在上，
∴（_____________）（填推理的依据）．
同理∵点A，C在上，
∴．
∴______=_______=_______．
∴是等边三角形．（_____________）（填推理的依据）．

7 . 如图，已知线段，且，求作矩形．小明的作法如下：①以A为圆心，长为半径画弧；②以C为圆心，长为半径画弧；③两弧交于点D，连接．于是就作出了矩形．

(1)尺规作图补全图形；（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）
(2)补全下述证明过程：
∵，______．
∴四边形是平行四边形．
又∵           ，
∴平行四边形是矩形．（_______）

8 . 如图，在中，是对角线．

(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接和（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，求证四边形是菱形（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后）．
证明：∵垂直平分，
∴．
又∵四边形是平行四边形，
∴①________
∴．
在和中，

②________
∴，
∴③________
∵垂直平分，
∴，④________
∴，
∴四边形是菱形．

9 . 乐乐发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形，已知：在中，．

求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形．

下面是乐乐设计的尺规作图过程．

作法：如图，①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点；

②作直线． 所以直线就是所求作的直线．

根据乐乐设计的尺规作图过程，解决下列问题：

(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)证明直线将分割成两个等腰三角形．

10 . 如图，，射线与交于点，射线与交于点．若是的角平分线，且．

(1)尺规作图：在射线上作，并连接（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)试说明，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由．
证明：（已知）
　　　　　　　（两直线平行，内错角相等）
是的角平分线（已知）
（　　　　　）
　　　　　　（等量代换）
（已知）
　　　　　　　（同旁内角互补，两直线平行）
（　　　　　　）
（等量代换）