1 . 数学课上，王老师布置如下任务：如图，已知，点是射线上的一个定点，在射线上求作点在和之间），使．
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：作线段的垂直平分线l，直线l交射线于点C，则点C即为所求．
根据小路设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明：
证明：连接，
∵直线l为线段的垂直平分线，
∴　 　，（ 　                          　）（填推理的依据）
∴，
∴（ 　                            　）（填推理的依据）

(3)能否在射线上再求作点，使．若能简要说明作法，并使用直尺和圆规画出图形．

2 . 数学活动课上，小明同学根据学习函数的经验，对函数的图象、性质进行了探究．如图1，已知在中，，，，点P为AB边上的一个动点，连接PC，设，，

(1)当时，则 x＝      ；y＝      ；
(2)填表：

x/cm	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4
y/cm	2	1.8	1.7		2	2.3	2.6	3

（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（参考数据：；）．
(3)试求y与x之间的函数关系式；
a、建立平面直角坐标系，如图2，描出剩余的点，并用光滑的曲线画出该函数的图象；
b、结合画出的函数图象，写出该函数的两条性质：
①                           ；
②                           ．

4 . 数学课上，老师带领同学们以直角三角形的两条直角边为邻边，尺规作图作一个矩形．如图1，在中， ，尺规作图：求作矩形．小辉同学经过思考后，回答他的做法如下：作边的垂直平分线，交于点 O，作射线，在线段的延长线上截取，连接，则四边形为矩形．

(1)使用直尺和圆规，根据小辉同学的作法在图1中补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明，并在括号内填写相应的依据；
证明：由作法可知，               ，，
∴ 四边形是平行四边形（                   ）
，
∴ 四边形是矩形（                  ）
(3)请你用不同于小辉的方法，在图2中尺规作图，作出矩形（保留作图痕迹，不写作法）．

5 . 如图，矩形的对角线交于点O， 于M．

(1)尺规作图：过点C作的垂线，垂足为N，连接、（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）．
(2)补全推理过程：
在矩形中
∵，
∴                                       
∵，
∴
即                ，
∴                 ；
在 和中，


∴                 
∴四边形为平行四边形（                ）．

6 . 下面是小明设计的作菱形的尺规作图过程．
已知：四边形是平行四边形．
求作：菱形（点在上，点在上）．
作法：如图，
①以为圆心，长为半径作弧，交于点；
②以为圆心，长为半径作弧，交于点；
③连接，所以四边形为所求的菱形．

(1)根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵，，
∴____________，
在平行四边形中，，即，
∴四边形为______形，
∵，
∴四边形为菱形．

7 . 已知：平行四边形，
求作：菱形，使点E、F分别在边上．
下面是小明设计的尺规作图过程
作法：如图，

①连接；
②分别以A、C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于M、N两点；
③连接，分别与交于E、F、O三点；
④连接．
四边形即为所求．
根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：∵__________，___________．
∴是的垂直平分线，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
在和中，

∴．
∴
又∵
∴四边形是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵，
∴四边形是菱形．（______________）（填推理的依据）

8 . 下面是小东设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，及外一点P．求作：过点P的的切线．
   
作法：
①连接，分别以点O、点P为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M、点N，作直线交于点T：
②以点T为圆心，的长为半径作圆，交于点A、点B；
③作直线，．
所以直线，就是所求作的的切线．
根据小东设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）：
(2)完成下面的证明．
证明：连接．
是的直径，
        °（        ）（填推理的依据）．
．
又OA为的半径，
直线是的切线（         ）（填推理的依据）．
同理可证，直线也是的切线．

10 . 如图，在平行四边形中，已知．

(1)实践与操作：作的平分线交于点，在上截取，连接．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：四边形是菱形．（在下列横线上补全推理过程或推理依据）
证明：四边形是平行四边形，
∴，
∴      ①      ，（      ②      ）
∵平分，

∴      ③      
      ④      
由（1）得：，

又∵      ⑤      
∴四边形是平行四边形，（      ⑥      ）
∵      ⑦      
∴四边形是菱形．（      ⑧      ）