1 . 命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明．

2 . 完成下面的证明过程．
已知：如图，，求证：平分．

证明：（已知），
     （      ），
      （      ），
又（已知），
（      ），
平分（      ）

3 . 已知：若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角和是，则称这个两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形中，是一条对角线，，则点与点关于互为顶针点：若再满足，则点与点关于互为勾股顶针点．
【初步思考】（1）如图2，在中，，，为外两点，，，为等边三角形．
①点与点______关于互为顶针点；
②求证：点与点关于互为勾股顶针点．
【实践操作】（2）在长方形中，．
①如图3，点在边上，点在边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点、，使得点与点关于互为勾股顶针点．（不用证明，不写作法，保留作图痕迹）
【思维探究】②如图4，点是线段上的动点，点是平面内一点，点与点关于互为勾股顶针点，直线与直线交于点，在点运动过程中，当线段与线段的长度相等时，求的长．

4 . 如图，四边形是矩形，连接交于点平分交于点．

(1)用尺规完成基本作图：作的角平分线交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法与结论）
(2)求证：四边形是平行四边形．
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴　①　，
∵平分平分，
∴，
∴　②　．
∵在和中，
，
∴，
∴　④　　，
又∵，
∴四边形是平行四边形（　⑤　）．

5 . 如图，已知，射线交于点F，交于点D．从D点引一条射线，若，求证：．

证明：（已知），
且____（______），
∴（______），
∴（______），
∴______（______），
又∵（已知），
∴______（______），
∴．

6 . 已知：如图所示，交于点O，平分与相交于点F，平分与相交于点E，．补全下列证明过程．

求证：．
证明：∵，
∴（________），
∴（_______）．
∵平分，平分，
∴________，
________（________），
∴（________）．

8 . 请把下列证明过程及理由补充完整（填在横线上）
已知：如图，，．
求证：．

证明：∵（已知），
且，（ ① ）
∴．（等量代换）
∴.（ ② ）
∴ ③ ．（两直线平行，同位角相等）
∵，（已知）
∴.（等量代换）
∴．（ ④ ）
∴．（ ⑤ ）

9 . 请把下面证明过程补充完整．

如图，已知，，．
求证：．
证明：∵，（______________），
∴（______________）．
∴________________（__________________________________）．
∴（______________________________）．
又∵（已知），
∴____________（等量代换）．
∴（________________________________）．

10 . 请把下面证明过程补充完整：
已知：如图，，分别平分，且．
求证：．

证明：分别平分（已知），
，（     ）．
（已知），
（等量代换），
（已知），
（等量代换）．
∴            （      ）．
      ，       （      ）．
（      ）．