1 . 操作初探：
（1）如图1，将正方形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；再对折，使与重合，得到折痕，展平纸片，连接，与交于点，连接，．则的值为________；
猜想证明：
（2）如图2，将正方形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；点在边上，连接，与交于点，连接，将绕点逆时针旋转，使点的对应点'落在对角线上，连接．当点在边上运动时（点不与，重合），试判断的形状，并说明理由．
拓展探究：
（3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，．当平分时，请证明．

4 . 【综合与实践】
【探究】（1）小学我们就学过同底等高的两个三角形的面积相等，后来我们又学到等高的两个三角形的面积之比等于与高对应的底边长之比，如图（1），的高和的高相等，则同样，同底的两个三角形，如果面积相等，也有类似的结论，若图形位置特殊，由此会产生一些新的结论，下面是小江同学探索的一个结论，请帮助小江完成证明．

如图（2），和的面积相等，求证：．
证明：分别过点、点作和底边上的高线，．
【应用】（2）把图（3）的四边形改成一个以为一边的三角形，并保持面积不变，请画出图形，并简要说明理由．
【拓展】（3）用上述探究的结论和已经证明的结论，证明三角形的中位线定理．
已知：如图（4），______．
求证：______．
证明：

5 . 在数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：

(1)【问题初探】如图1，在等腰中，，点在其内部，，，，求的长；
经过同学们的观察、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，探究三边之间的数量关系，…根据以上分析过程______．
(2)【类比分析】如图2，在等边中，点在其内部，且，，．求的度数．
(3)【拓展应用】①如图3，在中，，点在其内部，是等腰三角形，且．若，，求的长．
②如图4，在中，，，点为平面内一点，若，，请直接写出的值．

7 . 综合与实践
教材重现：取一块质地均匀的三角形木板，用一枚铁钉顶在这个三角形的重心上，木板会保持平衡（如图），这是重心的物理性质．

   

莹莹提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点与点重叠对折，得折痕，展开后，她把点与点重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点，则点就是的重心．

   

(1)初步观察：连接，判断与的数量关系并说明理由；
(2)猜想验证：莹莹通过测量发现与，与有同样的数量关系，写出它们的关系并说明理由；
(3)尝试运用：利用（2）的结论计算的面积；
(4)拓展探究：莹莹把剪下后得，发现可以与拼成四边形，且拼的过程中点不与点重合，直接写出拼成四边形时的长．

8 . 【问题情境】
小明在探究平面直角坐标系中图形的平移规律的综合实践课上，作了如下操作．
如图1，他在平面直角坐标系的坐标轴上选取了两点，，并用直尺过，两点画出直线，他发现直线上的任意一点沿直线移动时，其坐标变化是有规律的．
【发现规律】
（1）将点沿此直线移动到点时，横坐标增加了2个单位长度，纵坐标减少了__________个单位长度；将点沿此直线移动到点时，横坐标增加了1个单位长度，纵坐标减少了__________个单位长度；因此，他归纳：将直线上任意一点沿直线平移至点，若点的横坐标为，则点的纵坐标为__________（用含，的式子表示）；
【规律运用】
（2）如图2，三角形的一边与直线重合，三角形三个顶点坐标为，，，将三角形沿直线平移至三角形，其中点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点，求点的坐标．（（1）中规律可直接使用）
【拓展探究】
（3）①小明在图2中画出三角形，并连接平移前后的三对对应顶点，他发现连接各组对应点的线段具有____________的位置关系．
②连接，，请直接写出三角形的面积为__________．