1 . 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
操作：如图1，点E是边长为12的正方形纸片的边所在的射线上一动点，将正方形沿着折叠，点D落在点F处，把纸片展平，射线DF交射线于点P．
判断：根据以上操作，图1中与的数量关系：______．
(2)迁移探究
在（1）条件下，若点E是的中点，如图2，延长交于点Q，点Q的位置是否确定？如果确定，求出线段的长度，如果不确定，说明理由；
(3)拓展应用
在（1）条件下，如图3，，交于点G，取的中点H，连接，求的最小值．

2 . 解答
(1)问题发现：如图1，在和中，，，点是线段上一动点，连接．填空：
①的值为______；
②的度数为______．
(2)类比探究：如图2，在和中，，，点是线段上一动点，连接．请判断的值及的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3，在（2）的条件下，将点改为直线上一动点，其余条件不变，取线段的中点，连接、，若，则当是直角三角形时，线段的长是多少？请直接写出答案．

4 . （1）如图1，在等边中，M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边向右作等边，连接CN．求证：．

【类比探究】
（2）如图2，在等边中，M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中结论还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰中，，，连接AM，以AM为边向右作等腰，使顶角，连接CN，请直接写出CN与AC之间的数量关系．

5 . “综合与实践”是以问题为中心，以活动为平台，以解决某一实际的数学问题为目标，综合应用知识和方法解决问题，它是对数学知识的延伸和发展，是对理解、运用数学基础知识和基本技能的升华过程．请同学们运用你所学的数学知识来研究和解决以下问题吧．
（1）探究：已知是平面上一个运动的点，若，，则当点位于        时，线段的长最小，最小值为        ；若，，则当点位于        时，线段的长最小，最小值为        ；
（2）应用：已知是一运动的点，，，如图①所示，分别以为边作等腰直角三角形和等腰直角三角形，且，连接和．
①在图中找出与相等的线段，并说明理由；
②何时线段可以取得最小值？请直接写出线段的最小值；
（3）拓展：如图②，在矩形中，，，为矩形对角线的交点，为边上任意一点，连接并延长与边交于点，现将图中与分别沿与翻折，使点与点分别落在矩形内的点，处，连接，则的长有最小值吗？若有，请直接写出的长的最小值；若没有，请说明理由．

6 . 正方形中，对角线AC，BD相交于点、点为直线上一点、连接、绕点将射线逆时针旋转交直线于点．
问题提出：（1）如图1．当点在线段上时，线段与的数量关系为       ，线段BE，BF，BD之间的数量关系为 ．

深入探究：（2）如图2，当点在延长线上时，（1）的结论是否成立?请说明理由．

拓展延伸：（3）当时，连接，请直接写出的长．

7 . 如图1，将三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交于点．另一边交的延长线于点．
（1）观察猜想：线段与线段的数量关系是_____；
（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：
（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若、，请探究线段与线段之间存在怎样的数量关系？（用含、的代数式表示）

8 . 如图1所示，在正方形ABCD和正方形中，，连结．
（1）问题发现：_________；
（2）拓展探究：将正方形绕点A逆时针旋转，记旋转角为，连结，试判断：当≤时，的值有无变化?请仅就图2中的情形给出你的证明；
（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当三点共线时的长．
   

9 . （1）读读做做：教材中有这样的问题，观察下面的式子，探索它们的规律，=1-，=，=……用正整数n表示这个规律是______；
（2）问题解决：一容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第一次倒出L水，第二次倒出的水量是L水的，第三次倒出的水量是L水的，第四次倒出的水量是L水的，……，第n次倒出的水量是L水的，……，按照这种倒水方式，这1L水能否倒完？
（3）拓展探究：①解方程：+++=；
②化简：++…+．

10 . 如图1，在中，∠B=90°，，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为．
   
问题发现：
当时，_____；当时，_____．
拓展探究：
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
问题解决：
当旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长．