1 . 小明在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如下操作，请你完成小明的操作：如图，在四边形中，，是对角线．

   

(1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，．（只保留作图痕迹）
(2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空）
证明：垂直平分，
①______，，
，

在和中

，
③______，
，
四边形为平行四边形，
又④______，
四边形为菱形．
请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤______．

2 . 学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：
用直尺和圆规，过点作的角平分线，交于点，连接、．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，平分，交于点．
求证：四边形是平行四边形．

证明：∵四边形是平行四边形，
∴，① ，
∴．
∵平分，平分，
∴，．
∵
∴② ，
∴．
∴，．
∴③ ，
∴四边形是平行四边形．
同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则④ ．

3 . 在等边中，点是上的动点，点与点、不重合，点在的延长线上，且．

(1)如图1，若点是的中点，求证：；
(2)如图2，若点不是的中点时，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与数量关系，若成立，请给予证明．

4 . 补全证明过程，并在（　　）内填写推理的依据．
已知：如图，直线，，被直线，所截，，，求证：．
证明：，___________，
，
___________，
，
______________________．
___________．
___________．

5 . 在中，，以斜边为边向形外作正方形，若正方形的对角线交于点（如图1）

(1)求证：平分．
(2)试猜想线段与，之间的数量关系，请写出结论并证明．
(3)过点作于，过点作于，和的反向延长线交于点（如图2），求证：四边形为正方形．

6 . 已知：如图，在矩形中，M、N分别是边的中点，E、F分别是线段的中点．

(1)求证：；
(2)判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论．

7 . 如图，在正方形中，，P是边上任意一点，E是延长线上一点．连接，作，使．连接、，且交边于点G，连接．

(1)求证：．
(2)判断线段，与之间的数量关系，并证明你的结论．

8 . 证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．要求：
①在给定的图形中，以C为直角顶点，以线段为角所对的直角边，用尺规作出，不写作法，保留作图痕迹；
②写出已知、求证和证明过程．

9 . 如图，在中，，为的平分线，为的外角的平分线，，垂足为点．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，交于点，写出与间的数量关系，并证明你的结论．

10 . 用反证法证明命题“已知中，；求证：．”第一步应先假设_______．