1 . 欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．

如图1，设点P是已知点，圆O是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：
①连接，作线段的中点A；
②以A为圆心，以为半径作圆A，与圆O交于两点Q和R；
③连接，则是圆O的切线．
(1)按照上述作图步骤在图1中补全图形（保留作图痕迹，痕迹要清晰）；
(2)为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“是圆O的切线”的过程；
(3)如图2，连接并延长交圆O于点B，连接，已知，圆O的半径，求．

2 . 如图，在四边形中，，．

   

(1)尺规作图：在上截取，连接，作的角平分线，分别交于点F、G，连接．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作图形中，求证：．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）
证明：∵是的角平分线，
∴　　　　　，
∵，
∴　　　　　，
∴，
∴　　　　　，
又∵，
∴　　　　　，
∴四边形是平行四边形，
∴．

3 . 如图，，平分．

(1)用尺规作图完成以下基本作图：作平分，交于点，连接交于O．（保留作图痕迹，不写作法和结论．）
(2)根据（1）中作图，若O为中点，证明四边形是平行四边形，请你补全证明过程．
证明：，
．
又平分，
       ① ，
同理：
，
      ② ，
为中点
     ③ ，
又
．

四边形是平行四边形．（                     ④                    ）．

4 . 如图，在菱形中，对角线、相交于点．
(1)尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（保留作图痕迹，不写作法）；

   

(2)求证：四边形为矩形．（补全证明过程）
证明：
四边形是菱形
，

① ，
为的中位线
              ②              


             ③              

四边形为矩形．（              ④             ）
进一步研究上述问题发现，当和满足位置关系：              ⑤              时，四边形为正方形．

5 . 下面是某学习小组设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：及圆外一点P．
求作：过点P且与相切的直线．
作法：如图，①连接，分别以O，P为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于M，N两点；②作直线，与交于点Q，以Q为圆心，以长为半径作圆，交于A，B两点；③作直线，．则直线，是所求作的的切线．
根据该小组设计的尺规作图过程：
(1)使用直尺和圆规，按照上述作法补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．

证明：连接，，，，，
∵，，
∴是的垂直平分线，（                 ）（填推理的依据）
∴Q为中点，，
∴为的直径，
∴，（                 ）（填推理的依据）
∵A点在上，
∴是的切线．（                 ）（填推理的依据）

6 . 已知四边形是平行四边形，．

(1)利用尺规作图作的平分线交于点E，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：四边形是菱形．（补全下列证明过程）
证明：四边形为平行四边形，
，
___________．
平分，
，
___________．
，
又，
___________．
又，
四边形为平行四边形，
又___________．
四边形是菱形．

7 . 已知正方形，将边绕点A顺时针旋转α至线段的角平分线所在直线与直线相交于点F．

   

【探索发现】
（1）如图1，当α为锐角时，请先用“尺规作图”作出的角平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证：；
【深入探究】
（2）在（1）的条件下，
①的度数为     ；
②连接，猜想线段和之间的数量关系，并证明；
【拓展思考】
（3）若正方形的边长，当以点C，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段的长度．

8 . 已知：如图1，在中，．求作：射线，使得．
下面是小甲同学设计的尺规作图过程，
作法：如图2
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交于D，E两点；
②以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于F点；
③以点F为圆心，长为半径作弧，与②中作的弧在内部交于点G；
④作射线．
所以射线就是所求作的射线．
图1图2根据小甲同学设计的尺规作图过程，请使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）．

9 . 如图，是的直径，过点A作的切线，点P是射线上的动点，连接，过点B作，交于点D，连接．

(1)请补全图形；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)证明：是的切线．