1 . 已知在中，，点D为边上一动点，以为边，在的右侧作等边三角形．

   

(1)如图（1），当平分时，四边形是______形．
(2)如图（2），过点E作于点F，与具有怎样的关系？F为的中点吗？说明理由．可得出结论，无论运动到何处，点E在的何处？
(3)如图（3），若，利用（2）中结论．
①当D为的中点时，过点E作于点G，求的长；
②点D从点B运动到点C，则点E所经过的路径长为多少？

2 . 在数学兴趣小组活动中，同学们由一道有关正方形中两条互相垂直的线段的数量关系的问题出发，进行了一系列类似的数学探究活动，请你解决以下问题．
【母题溯源】
（1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，，垂足为点G，则        ；
【类比探究】
（2）如图2，在矩形中，，点E是上一点，，垂足为点G，求的值；
（3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求的值；

3 . （1）计算：；
（2）如图，在中，，，垂足分别为、．求证：．

5 . 在平面直角坐标系中，点在直线上，点的横坐标为，若线段绕点旋转后，得到点的对应点，且点在第一象限内，则点的坐标为______．

6 . 小丽与爸妈在公园里荡秋千，如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她，于点，于点，若爸爸到的水平距离，，（参考数据：，，）．

(1)求证：；
(2)求妈妈到的水平距离（即的长）；
(3)求秋千的起始位置距地面的高．

7 . （1）计算：．
（2）如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，求证：．

8 . （1）计算：；
（2）如图，点是线段的中点，．求证：．

9 . 已知在平面直角坐标系中存在点，将点A向右平移2个单位后，以原点O为旋转中心逆时针旋转后得到点，则的坐标为__________；