1 . 【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．
【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．

2 . 在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．

（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC．
①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；
②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．

3 . 问题背景：
(1)如图1，已知中，，，直线m经过点A，⊥直线m，⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：．
   
拓展延伸：
(2)如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．请写出、、三条线段的数量关系，并证明．
实际应用：
(3)如图3，在中，，，点C的坐标为，点A的坐标为，请直接写出B点的坐标．

4 . 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型．
【全等模型】如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．结论：．
   
   
(1)填空：
①如图1，若，，则DE=　 　；
②如图2，，，点B的坐标为，则点A的坐标为　 　．
(2)这时组员小刘想，如果三个角不是直角，那么这两个三角形还会全等吗？如图3现将【全等模型】的条件改为：在中，，直线l经过点D，A，E三点，且．请判断与是否全等，并说明理由．
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图4，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，若，，则　 　．

6 . 小亮在学习中遇到这样一个问题：

如图，点是弧上一动点，线段点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度．

小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题，请将下面的探究过程补充完整：
根据点在弧上的不同位置，画出相应的图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值．

操作中发现：
①"当点为弧的中点时， "．则上中的值是
②"线段的长度无需测量即可得到"．请简要说明理由；
将线段的长度作为自变量和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象；
继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值．(结果保留一位小数)．