1 . 【问题背景】
（1）如图1，在中，，于，求证：；
   
【变式迁移】
（2）如图2，已知，为上一点，且，若，求的值；

   
【拓展创新】
（3）如图3，四边形中，，，为边上一点，且，，直接写出的值．
   

2 . 数学模型学习与应用．【学习】如图1，，，于点C，于点E．由，得∠1=∠D；又，可以通过推理得到≌．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型；

(1)【应用】如图2，点B，P，D都在直线l上，并且．若，，，用含x的式子表示CD的长；
(2)【拓展】在中，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，，，．若为直角三角形，求CD的长；
(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B为平面内任一点．是以OA为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B的坐标．

3 . 如图，是经过顶点的一条直线，，，分别是直线上两点，且．

[数学思考]
(1)若直线经过的内部，且，在射线上．
请解决下面两个问题：
①如图1，若，，则　 ，　 ；（填“”、“”或“”）
②如图2，若，当与之间满足 　 　时，能够使得①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论．
(2)[问题拓展]如图3，若直线经过的外部，，请提出，，三条线段数量关系的合理猜想（不要证明）．

4 . 课外拓展课活动上，老师带领社团成员在不涉水的情况下测量校内一条小河的宽度（该段河流两岸互相平行），具体操作过程如下：

序号	操作过程
①	在河流此岸点，选彼岸正对的一棵树为参照点；（河岸）
②	沿河岸向左走有一棵树，继续前行到达处；（）
③	从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走；（，，三点共线）
④	测得的长为．

请根据上述过程，解答下列问题：

(1)河流的宽度为________；
(2)请你根据所学知识，解释该做法的合理性．

5 . 和都是等腰直角三角形，，是的中点，连接、．

(1)如图①，当点、分别是线段、上的点时，求的度数；
(2)如图②，当点是线段上的点时，求证：；
(3)如图③，当点、、共线且是的中点时，探究和之间的数量关系．

6 . 阅读下面材料：
数学课上，老师出示了这样一个问题:
如图1，在RtABC中，CB=CA，∠C=90°，∠CAB的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点D，过点B作BK⊥AD于点K，设AD交BC于点F，探究AF与BD之间的数量关系，并证明
某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法:
小明:“通过观察和度量，发现∠D的值是固定的.”
小强:“通过观察和度量，发现图1中∠CAF与∠KBF存在某种数量关系.”
小伟:“因为AF平分∠BAC，BK⊥AD，所以通过构造三角形，再通过证明三角形全等，进而可以得到AF与BD之间的数量关系.”
……
老师:“如图2，若CB≠CA，再过点D作DM⊥BC，垂足为点M，DM与BK交于点N.如果给出的值，那么可以求出的值”
（1）∠D的度数为       ；
（2）探究AF与BD之间的数量关系；
（3）当CB≠CA时，若 (n＞1)，求的值(用含n的代数式表示)

7 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

(1)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，若DE⊥CF，求证：CF＝DE．
(2)如图2，在矩形ABCD中，过点C作CE⊥BD交AD于点E，若，求的值．
(3)如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，且AB＝5，AD＝3，CF＝7．求DE的长．

8 . 四边形ABCD是一张矩形纸片，点E在AD上，将△ABE沿BE折叠，使点A落在矩形的对角线BD上，连接CF，若DE＝1，请探究下列问题：

(1)如图1，当F恰好为BD的中点时，AE＝        ；
(2)如图2，当点C、E、F在同一条直线上时，AE＝      ．

9 . 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点与y轴交于点C，作轴交函数图象上于点E，已知，，直线是抛物线的对称轴，D是抛物线的顶点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)连接AD，线段上的点N关于直线l的对称点恰好在线段上，求点N的坐标；
(3)探究：抛物线的对称轴上是否存在点T，使得线段绕点T逆时针旋转后，点B的对应点恰好也落在此抛物线上？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

10 . 【背景知识】研究平面直角坐标系，我们可以发现一条重要的规律：若平面直角坐标系上有两个不同的点、，则线段AB的中点坐标可以表示为

【简单应用】如图1，直线AB与y轴交于点，与x轴交于点，过原点O的直线L将分成面积相等的两部分，请求出直线L的解析式；
【探究升级】小明发现“若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点”
如图2，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，试说明；
【综合运用】如图3，在平面直角坐标系中，，，若OC恰好平分四边形OACB的面积，求点C的坐标．