1 . （1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形；

（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．

2 . （1）问题探究；如图1，在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，．

   

①判断与的数量关系：______；②推断：的值为________；
（2）类比探究，如图（2），在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
   
（3）拓展应用．如图3，四边形ABCD中，，点M、N分别在边上，求的值．
   

3 . （1）[探究发现]如图①，已知四边形是正方形，点为边上一点（不与端点重合），连接，将沿折叠，点落在处，、的延长线交于点．
小明探究发现：当点在上移动时，．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．
证明：延长交于点．
       
（2）[类比迁移]如图②，四边形为矩形，点为边上一点，连接，将沿折叠，点落在处，的延长线与的延长线交于点，连接，当，，时，求的长；
（3）[拓展应用]如图③，已知四边形为菱形，，，点为线段上一动点，将线段绕点按顺时针旋转，当点旋转后的对应点落在菱形的边上（顶点除外）时，如果，请直接写出此时的长．
   

4 . 在矩形中，点是对角线的交点，直角的顶点与重合，分别与边相交于，连接（为常数）．
   
(1)发现问题：如图1，若，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
(2)类比探究：如图2，，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，求的长．

6 . 在拓展课上，小林用圆规以点为圆心，长为半径画弧，使得，第二次同样按逆时针画圆弧到点，设，显然，连接．
(1)如图，连接．
       
①若，直接写出的度数；
②在第二次画圆弧过程中，请探究的大小是否改变？若不改变，求出的度数；若改变，请说明理由；
(2)如图，若以为斜边作，使得，连接，，若，试判断的形状，并说明理由．
   

8 . 【问题】：如图1，等腰直角三角形中，，，是的角平分线，点E为上一点，交延长线于点F，连接，探究，，之间的数量关系．
【分析】：小明在思考这道题时，先通过测量猜想出，然后他想到了老师讲过的“手拉手”模型，便尝试着过点E作的垂线与相交于点G（如图2），通过证明，最终探究出，，之间的数量关系．
（1）请根据小明的思路，补全的证明过程；
（2）请直接写出，，之间的数量关系；
【应用】（3）当时，请直接写出的长为             ；
【拓展】（4）若的中点为点M，当B，E，M三点共线时，请直接写出的长为      ．

9 . 阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．

(1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：；
(2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，求的长；
(3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，，为等腰直角三角形，，，求B点坐标．

10 . 如图，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点．

探究发现：
如图1，与是否全等？若全等加以证明，若不全等，请说明理由．
拓展应用：
（1）如图1，有怎样的数量关系？并加以证明．
（2）当直线绕点旋转到图2的位置时，又怎样的数量关系？（直接写出结论即可）．