1 . （1）问题探究；如图1，在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，．

   

①判断与的数量关系：______；②推断：的值为________；
（2）类比探究，如图（2），在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
   
（3）拓展应用．如图3，四边形ABCD中，，点M、N分别在边上，求的值．
   

2 . 问题情境：如图①，在中，，于点D．可知：（不需要证明）；
   
(1)特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点B、C在的边、上，且，于点F，于点D．证明：；
(2)归纳证明：如图③，点B，C在的边、上，点E，F在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：；
(3)拓展应用：如图④，在中，，．点D在边上，，点E、F在线段上，．若的面积为24，则与的面积之和为_____．（直接写出结果）

3 . 实践操作
在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点、是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．
初步思考
（1）若点落在矩形的边上（如图①）．

①当点与点重合时，       ；当点与点重合时，       ；
②当点在上，点在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出当时的菱形的边长．

深入探究
（2）若点落在矩形的内部（如图③），且点、分别在、边上，请直接写出的最小值．

拓展延伸
（3）若点与点重合，点在上，射线与射线交于点（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段与线段的长度相等？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由．

4 . 综合与实践−−探究特殊三角形中的相关问题
问题情境：
某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．

(1)初步探究：
勤思小组的同学提出：当旋转角α=       时，△AMC是等腰三角形；
(2)深入探究：
敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明；
(3)再探究：
在旋转过程中，当旋转角α=30°时，求△ABC与△AFE重叠的面积；
(4)拓展延伸：
在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．

5 . 综合与实践．
积累经验
我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在中，，，线段经过点，且于点，于点．求证：，”这个问题时，只要证明，即可得到解决．

(1)请写出证明过程；
类比应用
(2)如图2，在平面直角坐标系中，中，，，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标并写出求解过程；
拓展提升
(3)如图3，在平面直角坐标系中，，，点的坐标为，点的坐标为，直接写出点坐标 ___________．

6 . 【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．

【探究展示】
(1)直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系：        ；
(2)AM＝DE＋BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．

7 . 问题情境：中，于点，点是射线上的一个动点（不与点重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交线段于点，交于点，连接．

特例分析
（1）如图1，当点与点重合时，“智敏”小组提出如下问题，请你解答：
①求证：；
②用等式表示线段与之间的数量关系为：________；
拓展探究
（2）如图2，当点在线段的延长线上，且时，“博睿”小组发现．请你证明；
（3）如图3，当点在线段的延长线上，且时，的值为________；
推广应用
（4）当点在射线上运动时，若，则的值为_______（用含，的式子表示）

8 . 爱好思考的小明在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线相互垂直的三角形“中垂三角形”，如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
   
【特例研究】
（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a=b=       ；
【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图2证明你的结论；
【拓展证明】
（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF交BE相较于点G，AD=3，AB=3，求AF的长．

9 . （1）观察图形：如图1，中，，，，，垂足分别为、，与交于点．

①线段与线段的数量关系是______；
②写出图1中所有的全等三角形______；
（2）问题探究：如图2，中，，，平分，，垂足为，与交于点．试探究和的数量关系，并证明．
（3）拓展延伸：
如图3，中，，，点在上，，，垂足为，与交于点．若，，求的长．

10 . 基础探究：如图①，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，DF⊥CE交AB于F，垂足为点O．求证：CE＝DF．
应用拓展：如图②，在正方形ABCD中，点E为AD上一点，FG⊥CE分别交AB、CD于F、G，垂足为点O．若正方形ABCD的边长为12，DE＝5，则四边形EFCG的面积为_______．