解题方法
1 . 爱好思考的小明在探究两条直线的位置关系查阅资料时,发现了“中垂三角形”,即两条中线相互垂直的三角形“中垂三角形”,如图(1)、图(2)、图(3)中,AM、BN是△ABC的中线,AM⊥BN于点P,像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c.
【特例研究】
(1)如图1,当tan∠PAB=1,c=4时,a=b= ;
【归纳证明】
(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想a2、b2、c2三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图2证明你的结论;
【拓展证明】
(3)如图4,▱ABCD中,E、F分别是AD、BC的三等分点,且AD=3AE,BC=3BF,连接AF、BE、CE,且BE⊥CE于E,AF交BE相较于点G,AD=3,AB=3,求AF的长.
【特例研究】
(1)如图1,当tan∠PAB=1,c=4时,a=b= ;
【归纳证明】
(2)请你观察(1)中的计算结果,猜想a2、b2、c2三者之间的关系,用等式表示出来,并利用图2证明你的结论;
【拓展证明】
(3)如图4,▱ABCD中,E、F分别是AD、BC的三等分点,且AD=3AE,BC=3BF,连接AF、BE、CE,且BE⊥CE于E,AF交BE相较于点G,AD=3,AB=3,求AF的长.
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2020-06-27更新
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387次组卷
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3卷引用:2020年江苏省连云港市连云区中考二模数学试题
解答题-证明题
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适中(0.65)
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解题方法
2 . (1)如图①.已知:在中,,,直线经过点,直线,直线,垂足分别为点、.则线段、与之间的数量关系是______;
(2)如图②,将(1)中的条件改为:在中,,D,A,E三点都在直线m上,并且有,其中为任意锐角或钝角.请问:(1)中的结论是还否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)拓展与应用:如图③,D,E是D,A,E三点所在直线m上的两动点(D,A,E三点互不重合),点F为平分线上的一点,且和均为等边三角形,连接、.若,试判断的形状,并说明理由.
(2)如图②,将(1)中的条件改为:在中,,D,A,E三点都在直线m上,并且有,其中为任意锐角或钝角.请问:(1)中的结论是还否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)拓展与应用:如图③,D,E是D,A,E三点所在直线m上的两动点(D,A,E三点互不重合),点F为平分线上的一点,且和均为等边三角形,连接、.若,试判断的形状,并说明理由.
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2023-09-02更新
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345次组卷
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14卷引用:河南省安阳市滑县2019-2020学年八年级上学期期末数学试题
河南省安阳市滑县2019-2020学年八年级上学期期末数学试题福建省三明市清流县2020-2021学年八年级上学期期中数学试题 贵州省铜仁市印江县2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题山东省济宁市嘉祥县2021-2022学年八年级上学期期中数学试题山东省济宁市微山县2021-2022学年八年级上学期期中数学试题吉林省吉林市龙潭区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题华东师大版八年级上学期数学期末模拟试题一(已下线)专题12.21 三角形全等几何模型-一线三等角模型(巩固篇)(专项练习)-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练(人教版)(已下线)八年级上学期期中【压轴45题专练】-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略(人教版)(已下线)专题1.1 全等三角形七大基本模型 专项讲练-2022-2023学年八年级数学上册重难题型全归纳及技巧提升专项精练(浙教版)(已下线)专题1.48 全等三角形几何模型-一线三等角模型(巩固篇)(专项练习)-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练(浙教版)山西省运城市垣曲县2022-2023学年八年级数学上学期期末达标测试题 甘肃省天水市秦安县桥南初级中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题福建省龙岩市龙岩高级中学2020-2021学年八年级上学期期中数学试题
3 . 如图,正方形中,是对角线,今有较大的直角三角板,一边始终经过点B,直角顶点P在射线上移动,另一边交于Q.(1)如图1,当点Q在边上时,探究与所满足的数量关系;
小明同学探究此问题的方法是:过P点作于E点,于F点,根据正方形的性质和角平分线的性质,得出,再证明,可得出结论,他的结论应是______________;并证明该结论.
(2)如图2,当点Q落在的延长线上时,猜想并写出与满足的数量关系,并证明你的猜想.
小明同学探究此问题的方法是:过P点作于E点,于F点,根据正方形的性质和角平分线的性质,得出,再证明,可得出结论,他的结论应是______________;并证明该结论.
(2)如图2,当点Q落在的延长线上时,猜想并写出与满足的数量关系,并证明你的猜想.
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2022-08-01更新
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169次组卷
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4卷引用:山东省东营市胜利第二中学2018-2019学年八年级上学期期末考试数学试题
山东省东营市胜利第二中学2018-2019学年八年级上学期期末考试数学试题贵州省遵义市2022-2023学年七年级下学期期末数学试题山东省临沂市沂南县2021-2022学年八年级下学期期末数学试题(已下线)期末真题必刷05(压轴大题60题12个考点专练)-2023-2024学年八年级数学下学期期末考点大串讲(人教版)
4 . 如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长线上.试探究线段BE和CD的数量关系,并证明你的结论.
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2021-10-13更新
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1015次组卷
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5卷引用:河南省安阳市第三十三中学2020-2021学年八年级上学期期中数学试题
5 . [方法呈现]
(1)如图①,△ABC中,AD为中线,已知AB=3,AC=5,求中线AD长的取值范围.
解决此问题可以用如下方法:
延长AD至点E,使DE=AD,连结CE,则易证△DEC≌△DAB,得到EC=AB=3,则可得AC﹣CE<AE<AC+CE,从而可得中线AD长的取值范围是 .
[探究应用]
(2)如图②,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E是BC的中点,若AE是∠BAD的平分线,试判断AB,AD,DC之间的等量关系,并写出完整的证明过程.
(3)如图③,在四边形ABCD中,AB∥CD,AF与DC的延长线交于点F,点E是BC的中点,若AE是∠BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论.
(1)如图①,△ABC中,AD为中线,已知AB=3,AC=5,求中线AD长的取值范围.
解决此问题可以用如下方法:
延长AD至点E,使DE=AD,连结CE,则易证△DEC≌△DAB,得到EC=AB=3,则可得AC﹣CE<AE<AC+CE,从而可得中线AD长的取值范围是 .
[探究应用]
(2)如图②,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E是BC的中点,若AE是∠BAD的平分线,试判断AB,AD,DC之间的等量关系,并写出完整的证明过程.
(3)如图③,在四边形ABCD中,AB∥CD,AF与DC的延长线交于点F,点E是BC的中点,若AE是∠BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论.
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2020-12-20更新
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184次组卷
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3卷引用:浙江省绍兴市越城区2020-2021学年八年级上学期期中数学试题
名校
6 . 如图,在菱形中,,为正三角形,在菱形的边上.
(1)证明:.
(2)当点分别在边上移动时(保持为正三角形),请探究四边形的面积是否发生变化?若不变,求出这个定值;如果变化,求出其最大值.
(3)在(2)的情况下,请探究的面积是否发生变化?若不变,求出这个定值;如果变化,求出其最大值.
(1)证明:.
(2)当点分别在边上移动时(保持为正三角形),请探究四边形的面积是否发生变化?若不变,求出这个定值;如果变化,求出其最大值.
(3)在(2)的情况下,请探究的面积是否发生变化?若不变,求出这个定值;如果变化,求出其最大值.
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2018-04-24更新
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970次组卷
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4卷引用:贵州省遵义市2017-2018学年人教版八年级第二学期期末数学模拟试题