1 . 数学课上，老师出示了如下的题目：
“在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点E为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：________（填“＞”，“＜”或“＝” ）
(2)特例启发，解答题目
解：题目中，与的大小关系是：_______（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作，交于点F，请你完成解答过程．
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形中，点E在射线上，点D在射线上，且．若的边长为1，，画出符合条件的图，求的长．

2 . 小文解答这样一个数学问题：如图1，在中，，BE是AC边上的中线，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，求的值．小文经过思考发现，如图2，过点A作，交BE的延长线于点F，通过构造，经过推理和计算就能使问题得到解决．

(1)解决问题：请你根据小文的解题思路，完成求的值的过程；
(2)拓展应用：参考小文思考问题的方法，解决下列问题：如图3，在中，，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，．
①求的值；
②若，求BP的长．

3 . 如图，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．

(1)当直线绕着点C旋转到如图1所示的位置时，
求证：①；
②；
(2)当直线绕着点C旋转到如图2所示的位置时，探究之间有怎样的数量关系，并加以证明．

4 . 如图，在中，平分，于点E，点F是的中点．

(1)如图1，的延长线与边相交于点D，求证：；
(2)如图 2，探究线段之间的数量关系，直接写出你的结论：        ．

5 . 如图，在中，已知，过点C作于点D，过点B作于点M，与相交于点E，且点E是的中点，连接，过点D作，交于点N．

(1)求证：；
(2)请探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论．

6 . 在中，，是的角平分线，于点E．

(1)如图1，连接，求证：是等边三角形；
(2)点M是线段上的一点（不与点C，D重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，其中与之间的数量关系 ______．
(3)如图3，点N是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点G．试探究与数量之间的关系，并说明理由．

7 . 在探究三角形内角和等于的证明过程时，小明同学通过认真思考后认为，可以通过剪拼的方法将一个角剪下来，然后把这个角进行平移，从而实现把三角形的三个内角转移到一个平角中去，如图所示：
   
(1)小明同学根据剪拼的过程，抽象出几何图形；并进行了推理证明，请你帮助小明完成
证明过程．
证明：过点作，延长到

　              　
　               　
（平角定义）
（等量代换）
(2)小军仿照小明的方法将三角形的三个内角都进行了移动，也将三个内角转移到一个平角中去，只不过平角的顶点放到了边上，如图所示：
   
请你仿照小明的证明过程，抽象出几何图形再进行证明．
(3)小兰的方法和小明以及小军的方法都不相同，她将三角形三个内角分别沿某一条直线翻折，一共进行了三次尝试，如图所示：
   
小兰第三次成功的关键是什么，请你写出证明思路．

8 . 如图，将一三角板放在边长为1的正方形上，并使它的直角顶点P在对角线上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线相交于Q．
   
探究：设A、P两点间的距离为x．
(1)当点Q在边上时，线段与之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；
(2)当点Q在边上时，设四边形的面积为y，求y与x之间的函数关系；
(3)当点P在线段上滑动时，是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由．

9 . 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．试探究线段BE和CD的数量关系，并证明你的结论．