1 . 数学课上，老师出示了如下的题目：
“在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，探索结论
当点E为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：________（填“＞”，“＜”或“＝” ）
(2)特例启发，解答题目
解：题目中，与的大小关系是：_______（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作，交于点F，请你完成解答过程．
(3)拓展结论，设计新题
在等边三角形中，点E在射线上，点D在射线上，且．若的边长为1，，画出符合条件的图，求的长．

2 . （1）感知：如图①.，，于点，于点．求证：；
（2）拓展：如图②，点，在的边，上，点，在在内部的射线上，，分别是，的外角，已知，．求证：；
（3）应用：如图③，在中，，，点在边上，，点，在线段上，．若的面积为12，则与的面积之和为______．

3 . 如图，在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．

(1)当直线绕着点C旋转到如图1所示的位置时，
求证：①；
②；
(2)当直线绕着点C旋转到如图2所示的位置时，探究之间有怎样的数量关系，并加以证明．

4 . 【感知】如图①，在中，对角线相交于点，过点的直线分别交边于点，易证：（不需要证明）．
【探究】如图②，在中，对角线相交于点，过点的直线分别交边的延长线于，求证：．
【应用】如图③，在中，对角线相交于点，过点的直线分别交边的延长线于，连接，若，的面积为1，则四边形的面积为________．

   

5 . 数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：．

经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路．取AB的中点H，连接HE，则为等腰直角三角形，这时只需证与全等即可．
在此基础上，同学们进行了进步的探究：
(1)小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；
(2)小华提出：如图3．如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“”是否成立？如果成立，请写出证明过程，如果不正确，请说明理由；
(3)小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在直线上，请直接写出此时点E的坐标．

6 . 在平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接､，如图1．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）在（1）中，若，过点C作的垂线，与､､分别交于点G､H､R，如图2
①当时时，求的长．
②探究与的数量关系，直接写出答案．

7 . 将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形（）对角线交点旋转（如图①→②→③），、分别为直角三角板的直角边与矩形的边、的交点．

（1）发现：在图①中，当三角板的一直角边与重合，易证，
证明方法如下：连接，
∵为矩形
∴
又∵
∴
又∵
∴
∴
在图③中，当三角板的一直角边与重合，求证：．
（2）根据以上学习探究：图②中、、、这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．

8 . 某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图

（1）所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
（1）求证：AM=AN；
（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．

9 . 【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．

【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据       ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若       ，则△ABC≌△DEF．

10 . 【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据　 　，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是钝角，请你证明：△ABC≌△DEF（提示：过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H）．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是锐角，请你利用图③，在图③中用尺规作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．