1 . （1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN；
（2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN；
（3）若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值．

2 . 一副三角板如图摆放，点F是 45°角三角板△ABC的斜边的中点，AC＝4．当 30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点 M， N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF；②CF与MN可能相等吗；③MN 长度的最小值为 2；④四边形CMFN的面积保持不变； ⑤△CMN面积的最大值为 2．其中正确的个数是_________.（填写序号）.

3 . 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE，DF，EF，在此运动过程中，下列结论：（1）△DFE是等腰直角三角形；（2）DE长度的最小值为4；（3）四边形CDFE的面积保持不变；（4）△CDE面积的最大值是4．正确的结论是（　　）

A．（1）（2）（3）

B．（1）（3）（4）

C．（1）（2）（4）

D．（2）（3）（4）

4 . 定义：如图（1），若分别以的三边，，为边向三角形外侧作正方形，和，则称这三个正方形为的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为的外展双叶正方形．
   
(1)作的外展双叶正方形和，记，的面积分别为和；
①如图（2），当时，求证：；
②如图（3），当时，与是否仍然相等，请说明理由．
(2)已知中，，，作其外展三叶正方形，记，，的面积和S，请利用图（1）探究：当的度数发生变化时，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求出的最大值．

5 . 中，，D为的中点，直线l经过点D，过B作于F，过A作于E，求的最大值为______．

   

7 . 已知：正方形中，对角线与交于O点，点E为线段上一动点，连接，以为一边且在的右侧作正方形，连接交于点H， ．
          
(1)求证：；
(2)求的最大值；
(3)猜想之间的数量关系，并直接写出结论．

8 . 如图，在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（　　）

A．

B．

C．

D．

9 . 定义：过三角形的顶点作一条射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形，若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“和谐分割线”．
（1）下列三角形中，不存在“和谐分割线”的是 　 　（只填写序号）．
①等边三角形；②顶角为150°的等腰三角形；③等腰直角三角形．
（2）如图1，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，直接写出△ABC被“和谐分割线”分得到的等腰三角形顶角的度数；
（3）如图2，△ABC中，∠A＝30°，CD为AB边上的高，BD＝4，E为AD的中点，过点E作直线l交AC于点F，作CM⊥l于M，DN⊥l于N．若射线CD为△ABC的“和谐分割线”．求CM+DN的最大值．

10 . 如图，一副含和角的三角板和拼合在个平面上，边与重合，．当点E从点A出发沿方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，连接．则的面积最大值为_________．