1 . （1）问题探究；如图1，在正方形中，点E，Q分别在边上，于点O，点G，F分别在边上，．

   

①判断与的数量关系：______；②推断：的值为________；
（2）类比探究，如图（2），在矩形中，（k为常数），将矩形沿折叠，使点A落在边上的点E处，得到四边形交于点H，连接交于点O．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
   
（3）拓展应用．如图3，四边形ABCD中，，点M、N分别在边上，求的值．
   

2 . 综合与实践−−探究特殊三角形中的相关问题
问题情境：
某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．

(1)初步探究：
勤思小组的同学提出：当旋转角α=       时，△AMC是等腰三角形；
(2)深入探究：
敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明；
(3)再探究：
在旋转过程中，当旋转角α=30°时，求△ABC与△AFE重叠的面积；
(4)拓展延伸：
在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．

3 . 【问题情境】
如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．

【探究展示】
(1)直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系：        ；
(2)AM＝DE＋BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．

4 . 如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，． 点P是边BC上一个动点（不与B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，连接CD．

填空：①=            ；②∠ACD的度数为            ．
（2）拓展探究
如图②，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，． 点P是边BC上一个动点（不与B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，连接CD． 请判断∠ACD与∠B的数量关系以及PB与CD之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图③，在△ABC中，∠B=45°，AB=4，BC=12，P是边BC上一动点（不与B重合），∠PAD=∠BAC，∠APD=∠B，连接CD． 请直接写出所有CD的长．

5 . 爱好思考的小明在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线相互垂直的三角形“中垂三角形”，如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
   
【特例研究】
（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a=b=       ；
【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a²、b²、c²三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图2证明你的结论；
【拓展证明】
（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF交BE相较于点G，AD=3，AB=3，求AF的长．

6 . 小明在一次数学兴趣小组活动中，发现一个有趣结论：如图1，在已知锐角内有一个定点．过点任意作一条直线，分别交射线，于点，．当直线旋转到点是的中点时，的值最小．

（1）【阅读理解】小明的证明思路如下：如图2，过点任意作一条直线，分别交，于点，，设，过点作∥交于点．
∵是的中点时，可得★
∴得到S_{四边形MOFG}=
∵S_{四边形MOFG}，
∴总有，
∴当点是的中点时，的值最小．
请证明★处的；
（2）【问题探究】如图3，若在道路，之间有一村庄发生疫情，计划以公路，和经过防疫站的一条直线为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区．若测得，，，求出的长度；（参考数据：，，）

（3）【拓展延伸】如图4，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，，，的坐标分别为，，，，过点的直线与四边形的一组对边，相交，将四边形分成两个四边形，求其中以点为顶点的四边形面积的最大值．

7 . 【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．
【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．

8 . 合与实践
动手实践：数学课上老师让学生们折矩形纸片下面几幅图是学生们折出的一部分图形（沿直线折叠）由于折痕所在的直线不同，折出的图形也不同，各个图形中所“隐含的”基本图形也不同．我们可以通过发现基本图形研究这些图形中几何问题．

          

问题解决：（1）如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，，，线段交于点，则与的关系为          ，线段与线段的关系为          ．
小强量得，则          ．
小丽说：“四边形是菱形”，请你帮她证明．

   

拓展延伸：（2）如图2，矩形纸片中，，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你直接写出线段的长：          ．

   

综合探究：（3）如图3，是一张矩形纸片，，．在矩形的边上取一点，在上取一点，将纸片沿折叠，使线段与线段交于点，得到．请你确定面积的取值范围          ．

   

9 . 问题情境：中，于点，点是射线上的一个动点（不与点重合）．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交线段于点，交于点，连接．

特例分析
（1）如图1，当点与点重合时，“智敏”小组提出如下问题，请你解答：
①求证：；
②用等式表示线段与之间的数量关系为：________；
拓展探究
（2）如图2，当点在线段的延长线上，且时，“博睿”小组发现．请你证明；
（3）如图3，当点在线段的延长线上，且时，的值为________；
推广应用
（4）当点在射线上运动时，若，则的值为_______（用含，的式子表示）

10 . 正方形中，对角线AC，BD相交于点、点为直线上一点、连接、绕点将射线逆时针旋转交直线于点．
问题提出：（1）如图1．当点在线段上时，线段与的数量关系为       ，线段BE，BF，BD之间的数量关系为 ．

深入探究：（2）如图2，当点在延长线上时，（1）的结论是否成立?请说明理由．

拓展延伸：（3）当时，连接，请直接写出的长．