3 . 综合与实践：

【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，是边上一点，于点，，，，求证：四边形为正方形；
【实践探究】（2）小宇受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，是边上一点，于点，于点，交于点，请探究线段，，之间的数量关系并说明理由；
【拓展迁移】（3）小阳深入研究小宇提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，是边上一点，于点，点在上，且，连接，，请探究线段与的数量关系并说明理由．

4 . （1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形；
（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E ，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合， 点D的对称点为，若，，求的长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边 ，于点E ，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．

5 . 在中，，点在直线上，直线与的夹角为， 且，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，．

   

(1)【问题解决】
如图，若，则的度数为________，的值为______；
(2)【问题探究】
如图，若，判断的值是否发生变化？并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图，， 交于点， 点在线段上 ，，，求线段的长．

6 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察猜想】
（）如图，在正方形中，点分别是上的两点，连接，，则的值为__________．
（）如图，在矩形中，，，点是上的一点，连接，且，则的值为__________；
【类比探究】
（）如图，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：．
【拓展延伸】
（）如图，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点分别在边上，连接，，．求的值．

8 . （1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形；

（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．

10 . 综合与实践：
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
操作一：
如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接．
（1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①          °；②线段，，之间的数量关系为          ．
【深入探究】
操作二：
如图2、将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接、．
同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示．
（2）小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请证明该结论是否成立，并说明理由．
【拓展应用】
（3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长．