1 . 【问题解决】
已知中，三点都在直线1上，且有．如图①，当时，线段的数量关系为：
   
【类比探究】
（1）如图②，在（1）的条件下，当时，线段的数量关系是'否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；
【拓展应用】
（2）如图③，，点的坐标为，点的坐标为，请求出点的坐标．

3 . [理解探究]
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形，
   
(1)[问题解决]
如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证∶
(2)[问题探究]
如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长
(3)[拓展延伸]
如图3，在等腰直角中，，，且在平面直角坐标系中，点C在y轴正半轴上，点A坐标为，点B是第一、第三象限的角平分线上的一个点，求点C的坐标

4 . 【问题解决】
（1）已知△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线l上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC．如图①，当∠BAC=90°时，线段DE，BD，CE的数量关系为：______________；

【类比探究】
（2）如图②，在（1）的条件下，当0°<∠BAC<180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；
【拓展应用】
（3）如图③，AC=BC，∠ACB=90°，点C的坐标为（-2，0），点B的坐标为（1，2），请求出点A的坐标．

5 . 矩形中，、交于点O，（k为常数）．作，、分别与、边相交于点E、F，连接，

(1)发现问题：如图1，若，猜想：______；
(2)类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长．

6 . 探索发现：如图1，已知中，，，直线l过点C，过点A作，过点B作，垂足分别为D、E．
   
(1)求证：；
(2)迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为，求点N的坐标；
(3)拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线与x轴交于点，与y轴交于点，试判断在第一象限内是否存在一点R，使为等腰直角三角形，若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

7 . 数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题．
利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍．
（1）尺规作图：如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是三角形全等的判定_________．

VSDX   

【模型构造】
（2）方法一：巧翻折，造全等
如图①，在中，，是的角平分线，则________．（填“、“或“）

     VSDX   

在上截取，连接，则．
方法二：构距离，造全等
如图②，在四边形中，，和的平分线，交于点．
若，则点到的距离是_________．
过点作，垂足为点．
则．
【模型应用】
（3）如图③，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由．

   

8 . 建立模型：

(1)如图1，已知在中，，，顶点C在直线l上．过点A作于点D，过点B作于点F．求证：．
(2)模型应用：（问题解决）
如图2，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，以为腰在第二象限作等腰直角三角形，．
a：点A、B的坐标分别为A______，B______；
b：求点C坐标．
小明同学为了解决这个问题，提出了以下想法：过点C向x轴作垂线交x轴于点D．请你借助小明的思路，求出点C的坐标．
(3)类比探究：
数学老师表扬了小明同学的方法，然后提出了一个新的问题：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B坐标为，过点B作x轴的垂线l，点P是直线l上一个动点，点D是直线上的一个动点，若是以点D为直角顶点为等腰直角三角形，请直接写出点D与点P的坐标．

9 . 如图，在中，，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，垂足为，．

(1)当直线不与底边相交时．
①求证：，
②猜想，，之间的数量关系并证明．
(2)将直线绕点顺时针旋转，使与底边交于点（不与点，重合），请你探究，，之间的数量关系．

10 . 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如下图1．

(1)已知：在中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．则线段DE与BD、CE的数量关系为________．
(2)组员小刘想，如果三个角不是直角，那（1）中的结论是否会成立呢？如图（2），将（1）中的条件改为：在中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝，其中为任意锐角或钝角．如果（1）中的结论成立，请证明；如不成立，请说明理由．
(3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图（3），过的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点