1 . 某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形（）的对角线的交点旋转（），图中的分别为直角三角形的直角边与矩形的边的交点．
解决问题：（）该学习小组成员意外的发现图（三角板一直角边与重合）中，此时发现这三条线段之间满足以下的数量关系：；在图中(三角板一边与重合)，，请你对这名成员在图和图中发现的结论选择其一说明理由．

类比探究：（）在图中（三角板一边与重合），直接写出这三条线段之间所满足的数量关系          ．
在图中，试探究这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．
拓展延伸：（）将矩形改为边长为的正方形，直角三角板的直角顶点绕点旋转到图，两直角边与，分别交于，直接写出这四条线段之间所满足的数量关系．（不需要证明）

2 . 问题提出
在综合与实践课上，某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1，在边长为4的正方形的中心作直角，的两边分别与正方形的边，交于点E，F（点E与点B，C不重合），将绕点O旋转．在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？
爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路．
浩浩：如图a，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质，证明了，则，．这样，就实现了四边形的面积向面积的转化．
小航：如图b，考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积．

（1）通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到__________；__________．
类比探究
（2）①如图⒉，在矩形中，，，O是边的中点，，点E在上，点F在上，则__________．
②如图3，将问题中的正方形改为菱形，且，当时，其他条件不变，四边形的面积还是一个定值吗？若是，请求出四边形的面积；若不是，请说明理由．
拓展延伸
（3）如图4，在四边形中，，，，，是的平分线，求四边形的面积．

3 . （1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形；

（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．

5 . 【课例改编】
数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，求的长．

小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点刚好落在边上的点处．……
（1）结合小明同学的想法，请直接写出：_____．

【改编拓展】
张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答：
（2）如图2，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段有什么数量关系？请写出你的猜想并证明．

【模型应用】
根据上面探究构造全等模型的规律，请解答：
（3）如图3，在四边形中，平分，求的长．

6 . 某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：
问题提出

如图，正方形中，在边上任意一点（不与点重合），以为旋转中心，将逆时针旋转，得到，连接，，分别交于点E，F．
操作发现
（1）当时，的度数为_______，的度数为_______．
数学思考
（2）连接，当为中点时，求证：；
拓展应用
（3）若，是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在，说明理由．

7 . 【感知】
如图1，在四边形中，，且．求证：．
【探究】
如图2，在四边形中，，且，点在边的延长线上，连接，以为直角边作等腰直角，过点作，垂足为，连接交于点．求证：．
【拓展】
如图3，点在四边形内，，且，，过点作交于点，使，延长交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由．