1 . 我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，，则四边形为“等邻角四边形”．

(1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是___________．
①平行四边形；②矩形；③菱形；④等腰梯形．
(2)深入探究：
①已知四边形为“等邻角四边形”，且，则________．
②如图②，在五边形中， ，对角线平分，求证：四边形为等邻角四边形．
(3)拓展应用：如图③，在等邻角四边形中，，点P为边BC上的一动点，过点P作，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，的值是否会发生变化？请说明理由．

2 . 【问题呈现】某学校的数学社团成员在学习时遇到这样一个题目：
如图1，在中，，AD平分交BC于点D，点E在DC的延长线上，过E作交AC的延长线于点F，当时，试说明：；
【方法探究】
社团成员在研究探讨后，提出了下面的思路：
在图1中，延长线段AD，交线段EF的延长线于点M，可以用AAS证明，从而得到…，
（1）请接着完成剩下的说理过程：
【方法运用】
（2）在图1中，若，则线段AF、EF、AB之间的数量关系为______（用含k的式子表示，不需要证明）；
（3）如图2，若，，，，求出BD的长；
【拓展提升】
（4）如图3，若，连接AE，已知，，，且，则边EF的长＝______．

4 . 某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：

(1)【初步探究】如图2，当时，则_____；
(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________；
(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．
(4)【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．

6 . 【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组对如图所示的课本上的一道例题进行了深入探究，发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形，有角平分线时，常过角平分线上一点作角的平行线构造等腰三角形．如图1，P为∠AOB的角平分线OC上一点，过点P作PD∥OB交OA于点D，易证△POD为等腰三角形．
【基本运用】（1）如图2，把长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B'处，重合部分△ACE是等腰三角形吗？为什么？
【类比探究】（2）如图3，△ABC中，∠ABC的角平分线BO与外角∠ACG的角平分线交于点O，过点O作OD//BC分别交AB、AC于点D、点E，试探究线段BD、DE、CE之间的数量关系并说明理由；
【拓展提升】（3）如图4，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD边的中点，且AE平分∠BAD，连接BE，求证：AE⊥BE．

9 . 综合与实践

初步感知
（1）如图1，，交于点E．与存在的数量关系为　　　；
知识应用
（2）如图2，已知在中，，为的角平分线，为的高线，，相交于点O．
①如图2，若，求证：；
②如图3，若，则与的数量关系为　　　　；
拓展提升
（3）如图4，在四边形中，，，E，F分别为，上的点，且，与相交于点G，连接．若，，，求的值．